Demostrar que el estimador de la matriz de peso GMM es consistente

Question

(Ejercicio 13.3 de Hansen) Tome el modelo $Y = X'\beta + e$ con $\mathbb{E}[Ze] = 0 $ . Sea $\tilde e_i = Y_i - X_i'\tilde \beta$ donde $\tilde\beta$ es consistente para $\beta$ (por ejemplo, un estimador GMM con alguna matriz de pesos). Un estimador de la matriz de pesos óptima del GMM es $$\hat W = \left( \frac1n \sum_{i=1}^n Z_i Z_i' \tilde e_i^2 \right)^{-1}.$$ Demuestra que $\hat W \to_p \Omega^{-1}$ donde $\Omega = \mathbb{E}[ZZ'e^2]$ .

Desde $\tilde \beta$ es consistente, $\tilde e_i$ también converge en probabilidad a $e_i$ para todos $i$ . También, por LLN, $$\frac1n \sum_{i=1}^n Z_i Z_i' \tilde e_i^2 \to E[Z_iZ_i' \tilde e_i^2].$$ Creo que tengo que combinar estos dos resultados de alguna manera para obtener el resultado final. ¿Pueden ayudarme?

Answer 1

Tenemos \begin{align} \frac1n \sum_{i=1}^n Z_i \tilde{e}_i^2 Z_i' &= \frac1n \sum_{i=1}^n Z_i \Big[e_i^2 - 2e_i X_i' (\tilde\beta - \beta) + (\tilde\beta - \beta)' X_i X_i' (\tilde\beta - \beta)\Big] Z_i' \\ &= A_1 - 2A_2 + A_3. \end{align} porque $\tilde{e}_i = y_i - X_i'\tilde\beta = (X_i'\beta + e_i) - X_i'\tilde\beta = e_i - X_i' (\tilde\beta - \beta).$

Primero, $$A_1 = \frac1n \sum_{i=1}^n Z_i e_i^2 Z_i' \to_p E[Z_i e_i^2 Z_i'] = \Omega \text{ by LLN}.$$ Siguiente, $$A_2 = \frac1n \sum_{i=1}^n Z_i e_i X_i' (\tilde\beta - \beta) Z_i',$$ el $(j,k)$ cuyo elemento es $$A_{2,jk} = \frac1n \sum_{i=1}^n z_{ij} e_i X_i' (\tilde\beta - \beta) z_{ik} = \left( \frac1n \sum_{i=1}^n z_{ik} z_{ij} e_i X_i' \right) (\tilde\beta - \beta).$$ El primer término (entre paréntesis) es $O_p(1)$ ; puede ser $o_p(1)$ si $X_i$ es exógena pero no importa. El segundo término es $o_p(1)$ porque $\tilde\beta$ es consistente. Por lo tanto, $A_2 = o_p(1)$ . Finalmente, $$A_3 = \frac1n \sum_{i=1}^n Z_i (\tilde\beta - \beta)' X_iX_i' (\tilde\beta - \beta) Z_i',$$ el $(j,k)$ cuyo elemento es \begin{align} A_{3,jk} &= \frac1n \sum_{i=1}^n z_{ij} (\tilde\beta - \beta) X_i X_i' (\tilde\beta - \beta) z_{ik}\\ &= (\tilde\beta - \beta)' \left[ \frac1n \sum_{i=1}^n X_i z_{ij} z_{ik} X_i' \right] (\tilde\beta - \beta)\\ &= o_p(1) O_p(1) o_p(1) = o_p(1), \end{align} y por lo tanto $A_3 = o_p(1)$ .

Hemos demostrado que $\hat{W}^{-1} \to_p \Omega$ . Bajo el supuesto de que $\Omega$ es invertible, $\hat{W} \to_p \Omega^{-1}$ .