Comprender la curva de la función de utilidad y la tasa marginal de sustitución

Question

Este ejemplo aparece en otra pregunta, pero hay algo que no entiendo. Tal vez esta pregunta es más adecuada para stackexchange álgebra.

La función de utilidad de Juan para la comida (f) y la ropa (c) viene dada por
$$U(f, c) = (f^\alpha + c^\alpha)^{1/\alpha}$$

¿Satisface esta función la disminución del MRS?
La respuesta es : no, porque si >1 la curva de la gráfica es cóncava.

Entiendo perfectamente la teoría, pero ¿cómo puedo dibujar realmente la curva de la función dada para comprobar la respuesta? Algebricamente/geométricamente/visualmente cuál es la función dada (f,c) = (f +c ) $\frac{1}{}$ ? ¿Es realmente la ecuación de la curva? ¿Por qué tiene un aspecto tan extraño? ¿Y qué es? ¿Dónde entraría en juego algo así a la hora de medir la utilidad de alguien?

Answer 1

Esta es una ampliación de la respuesta de @1muflon1.

Motivación y aplicaciones

En la función de utilidad, $\alpha$ permite una alternativa a la función de crecimiento lineal, especialmente cuando los parámetros son cercanos a cero. Esto tiene aplicaciones prácticas; por ejemplo, la función de ejemplo que tiene arriba es un caso especial de la Función de utilidad CES .

Determinación analítica

Para determinar la convexidad de una función multivariable, debemos considerar su hessiano. En este ejemplo, la función de utilidad es bivariable, por lo que el hessiano viene dado por $$H_{U(f,c)}=\begin{bmatrix}U_{ff}&U_{fc}\\U_{cf}&U_{cc}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}U_{ff}&U_{fc}\\U_{fc}&U_{ff}\end{bmatrix}$$ desde $U(f,c)=U(c,f)$ . La convexidad se desprende de su semidefinición positiva; es decir, si tanto $$\det U_{ff}=U_{ff}=(\alpha-1)f^{\alpha-2}c^\alpha(f^\alpha+c^\alpha)^{1/\alpha-2}\ge0$$ y $$\det\begin{bmatrix}U_{ff}&U_{fc}\\U_{fc}&U_{ff}\end{bmatrix}=U_{ff}^2-U_{fc}^2=(\alpha-1)^2f^{2\alpha-4}c^{2\alpha-2}(c^2-f^2)(f^\alpha+c^\alpha)^{2/\alpha-4}\ge0.$$ Esto se cumple si ambos $\alpha\ge1$ y $c\ge f$ sino porque $U$ es simétrica, ¡el último criterio es redundante! Por lo tanto, $U(f,c)$ es convexo para todo lo no negativo $f,c$ (como debería ser el caso en la vida real) si y sólo si $\alpha\ge1$ .

Aquí hay un atajo para los que tienen inclinación matemática: observe que en este caso especial $U$ es una función homogénea de orden $1$ . Desde Altenberg (2012) 1 basta con demostrar que $U$ es convexo en una sola variable.

Visualización gráfica

El gráfico de Mathematica proporcionado arriba es genial, ya que las líneas de contorno muestran evidentemente la convexidad/concavidad en un conjunto de coordenadas determinado. Para aquellos que no tienen una suscripción a Mathematica y desean interactuar con el gráfico de contorno, he hecho un rápido Gráfico de GeoGebra que se comparte públicamente.

Obsérvese que no hay contornos en los otros tres cuadrantes, ya que $U(f,c)$ no se define cuando $\alpha$ no es un número entero.

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_Referencia

_{[1] Altenberg, L. (2012). Los operadores lineales positivos resolutivos presentan el fenómeno de reducción. <em>Actas de la Academia Nacional de Ciencias. </em>109(10):3705-3710.}

Answer 2

Hacerlo de forma analítica

Analíticamente, basta con examinar las segundas derivadas de una función. Siguiendo a Sydsaeter et al FEMA pp. 466 una multivariante $C^2$ función de dos variables $f(x,y)$ es cóncava cuando:

$$f^{''}_{11}(x, y) \leq 0, f^{''}_{22}(x, y) \leq 0, \text{ and } f^{''}_{11}(x, y)f^{''}_{22}(x, y) − f^{''}_{12}(x, y)^2 \geq 0$$

Así que analíticamente se puede calcular lo anterior. En tu caso la función es $U(f,c)$ pero, por lo demás, sólo está aplicando lo anterior.

Si quieres saber si la función es cóncava en todas partes, entonces tienes que inspeccionar si la concavidad se satisface para todas las restricciones de parámetros y variables. En este caso la función será cóncava en todas partes suponiendo $f>0, c>0$ . En economía, normalmente asumimos que las variables tienen que ser positivas o al menos no negativas (no se puede consumir -1 unidades de pan). Si se hace lo anterior se verá que para $f>0; c>0$ la función es cóncava en todas partes, pero observe que si no impone ninguna restricción de $f$ y $c$ la función se volvería realmente convexa para $f<0;c<0$ .

Gráficamente

Basta con trazar la función y observar su forma. La forma cóncava en 3D se parecerá a la cúpula de una cúpula, mientras que la forma convexa se parece a un cuenco (al menos así es como me gusta pensar en 3D).

A continuación puedes ver el gráfico de tu función sin ninguna restricción hecha en Wolfram Alpha. Tienes que hacerlo para algunos parámetros particulares aquí he elegido $\alpha = 0.5$ pero la forma sería similar para cualquier $0<\alpha<1$ . Como puede ver para $f>0$ y $c>0$ la función es claramente cóncava, y esto es lo que se menciona en la respuesta (de nuevo, en economía normalmente restringimos las variables para que sean positivas a menos que se indique lo contrario), pero también se puede ver que si no se hace ninguna restricción en $f$ y $c$ es convexa en el III cuadrante.