Contratos europeos
Es una pregunta realmente importante y como comentó @noob2, el FTAP se aplica normalmente a Estilo europeo derivados, incluso si son (fuertemente) dependientes de la trayectoria, incluidas las opciones de barrera y las opciones asiáticas. La idea es siempre la misma, $V_t=B_t\mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[\frac{\xi_T}{B_T}\Big|\mathcal{F}_t\right]$ es decir, el proceso del precio del derivado es la expectativa condicional neutral al riesgo de la remuneración futura descontada, $\xi_T$ (que puede depender de que se alcancen los niveles de barrera, etc.). Se deduce esencialmente del hecho de que para cualquier variable aleatoria integrable $X$ el proceso $\mathbb{E}[X|\mathcal{F}_t]$ es una martingala. Si se añade el proceso de precios $V_t$ a un mercado en el que los precios de los activos descontados son martingalas, entonces no se introduce un nuevo arbitraje (por la FTAP) y por tanto $V_t$ es un precio compatible con el arbitraje para negociar el resultado $\xi$ . Entonces, ¿por qué el ejercicio temprano es un problema para la propiedad de la martingala?
Precio del comprador para los contratos americanos
El precio de un pago que puede ejercerse en cualquier momento está mucho más relacionado con algo como $$U_t=\sup_{\tau\in \mathcal S_{t,T}}\left\{\mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[\frac{\xi_\tau}{B_\tau}\bigg|\mathcal{F}_t\right]\right\},$$ donde el supremum se toma sobre el conjunto de todos los tiempos de parada (estrategias de ejercicio) con valores en $\{t,...,T\}$ . Por supuesto, $U_T=\frac{\xi_T}{B_T}$ . Este proceso $U$ se refiere a _Sobre de Snell_ . Un tiempo de parada $\tau$ es óptimo si $U_t=\mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[\frac{\xi_\tau}{B_\tau}\Big|\mathcal{F}_t\right]$ . El precio de la opción sería $B_tU_t$ .
Dos propiedades importantes:
- $U$ domina el pago $\xi$ sabemos esto, una opción americana siempre vale al menos su pago inmediato (por no-arbitraje)
- $U$ es un supermartingale: eso causa el problema con el FTAP (ver abajo)
Ejercicio óptimo
Definamos (recursivamente) el siguiente tiempo de parada, $\tau_t^*$ a través de $\tau_T^*=T$ y para $t<T$ como \begin{align*} \tau^*_t=\begin{cases} t & \text{if } \frac{\xi_t}{B_t}\geq \mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[\frac{\xi_{\tau_{t+1}^*}}{B_{\tau_{t+1}^*}}\bigg|\mathcal F_t\right], \\\\ \tau_{t+1}^* & \text{if }\frac{\xi_t}{B_t}< \mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[\frac{\xi_{\tau_{t+1}^*}}{B_{\tau_{t+1}^*}}\bigg|\mathcal F_t\right]. \end{cases} \end{align*} Entonces, ¿qué hace $\tau^*_t$ ¿se refiere a la economía? Si la recompensa inmediata $\xi_t$ es mayor que el valor de continuación, $B_t\mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[\frac{\xi_{\tau_{t+1}^*}}{B_{\tau_{t+1}^*}}\bigg|\mathcal F_t\right]$ y luego ejercer la opción ( $\tau_t^*=t$ ) y si no, sigue manteniendo la opción.
Dos propiedades relacionadas con este tiempo de parada
- $U_t=\mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[\frac{\xi_{\tau_t^*}}{B_{\tau_t^*}}\bigg|\mathcal{F}_t\right]$ es decir $\tau_t^*$ es óptimo
- $U_t=\max\{\frac{\xi_t}{B_t},\mathbb{E}^\mathbb{Q}[U_{t+1}|\mathcal{F}_t]\}$ empezando por $U_T=\frac{\xi_T}{B_T}$ . Esta propiedad también se utiliza para definir la envolvente de Snell y capta toda la idea de los árboles binomiales: empezar en la madurez y trabajar hacia atrás, comparando cada vez si el ejercicio es óptimo (el pago $\frac{\xi_t}{B_t}$ es mayor) o el valor de continuación de mantener la opción durante otro periodo. Esta representación también le indica inmediatamente que $U$ es un supermartingale : $$U_t=\max\left\{\frac{\xi_t}{B_t},\mathbb{E}^\mathbb{Q}[U_{t+1}|\mathcal{F}_t]\right\}\geq \mathbb{E}^\mathbb{Q}[U_{t+1}|\mathcal{F}_t]$$
Resumen
Como puede ejercer en cualquier momento, el valor de su opción es un supremum sobre todas las estrategias de ejercicio (tiempos de parada). El FTAP y la fijación de precios de la martingala simplemente tomarían el pago y construirían el proceso de precios correspondiente mediante el descuento y el condicionamiento, pero para las opciones americanas hay que pensar en el tiempo de parada óptimo.
Algunas notas
- Los apuntes anteriores son un poco desde la perspectiva del comprador. Se puede tomar la perspectiva de un coberturista y demostrar que un vendedor tiene el mismo precio si el comprador se comporta de manera óptima.
- Como siempre, si los mercados están incompletos, $\mathbb Q$ no es único y pueden existir infinitos precios justos.
- Todas las afirmaciones anteriores se demuestran mediante inducción inversa : demostrar que es válida para $t=T$ (normalmente trivial por construcción) y demostrar que si se cumple para $t+1$ entonces también es válida para $t$ .
