Encontrar una cartera de crecimiento máximo

Question

Tengo el siguiente problema que me pide que resuelva la "cartera de crecimiento máximo".

Supongamos que el factor de descuento estocástico de equilibrio evoluciona como $$ \log S_{t+1} - \log S_t = \kappa_s(X_t, W_{t+1}). $$ Resolver el siguiente problema de maximización: \begin{equation*} \begin{aligned} & \underset{x}{\text{maximize}} & & E[\log(R_{t+1})] \\ & \text{subject to} & & E\left[ \frac{S_{t+1}}{S_t} R_{t+1}\, \middle | X_t = x \right] = 1. \end{aligned} \end{equation*}

Parece claro cómo podríamos derivar la siguiente solución: $R^*_{t+1} = \exp(-\kappa(X_t, W_{t+1})) = \frac{S_t}{S_{t+1}}$ . Sin embargo, mi pregunta está relacionada con la comprensión de los aspectos económicos de este problema. La restricción de este problema dice claramente que, sea cual sea la cartera que construyamos, debe tener un precio justo (dado el proceso del factor de descuento estocástico $S_t$ ). Sin embargo, no entiendo por qué habría una cartera que produjera una "máxima rentabilidad esperada". Así que ahí están mis dos preguntas:

1. ¿Por qué el objetivo aquí no es ilimitado? ¿No podemos elegir siempre una cartera con un mayor rendimiento esperado (con el correspondiente mayor riesgo)?
2. Además, ¿por qué hay un registro en el objetivo? ¿Funcionaría este problema igual que si el objetivo fuera $E[R_{t+1}]$ ?

Answer 1

Digamos que tenemos una cartera con rendimientos descritos por una variable aleatoria X. Llamemos a la menor realización posible de X: xmin. Si toma una posición apalancada en esa cartera con un apalancamiento A y un coste de financiación r, sus rendimientos son r(A-1)+AX. Existirá un valor de A no mayor que 1/xmin en el que cuando obtengas el peor rendimiento de X y la cartera apalancada te devuelva el -100%. Eso es el fin del juego para tu riqueza.

Por lo tanto, si se invierte a largo plazo y se reinvierte después de cada período, debería estar claro que no se puede simplemente maximizar arbitrariamente el apalancamiento para maximizar la rentabilidad a largo plazo. Esa función objetivo de maximización de la rentabilidad logarítmica esperada es exactamente la función objetivo de maximización de la rentabilidad a largo plazo. Este objetivo trata los rendimientos del -100% como la utilidad del -infinito y por lo tanto lo evita a toda costa.

Si en lugar de ello se maximizaran los rendimientos esperados, esto no ocurriría. Su preferencia sería un apalancamiento ilimitado, de acuerdo con su intuición.

Otra forma de pensar en esto es la aversión al riesgo. La utilidad logarítmica en la riqueza es análoga a un parámetro de utilidad CRRA de 1, mientras que la función de utilidad de rendimiento esperado un parámetro CRRA de 0 (neutral al riesgo). Como al tipo neutral al riesgo no le importa el riesgo, ve un activo con rendimientos esperados positivos y quiere hacer una gigantesca apuesta apalancada en él. El tipo con utilidad logarítmica es relativamente tolerante al riesgo, pero sigue preocupándose por los resultados extremos y, por tanto, no quiere apalancarse demasiado.

Y si el rango de valores que toma X está mayoritariamente en el rango de +/- 30%, resulta que E[log(X)] se aproxima muy bien por E[X]+0,5Var(X) por lo que se puede aproximar bien con Optimización de la cartera de media-varianza de Markowitz donde lambda es 1/2. Mientras que las preferencias de E[X] son análogas a lambda de cero que no tendrá una solución acotada sin una restricción adicional.