¿Cómo extraer la sonrisa de volatilidad implícita en un modelo de mezcla?

Question

Si hubiera que extraer la sonrisa de volatilidad implícita de un modelo de volatilidad local, se puede utilizar simplemente la relación:

$\sigma^2_{imp}(t, x)T = \int_t^T \sigma^2_{loc}(s, x)ds$

con $\sigma_{loc}$ la fórmula dupire de la volatilidad local para un tiempo determinado $t$ y el dinero $x$ .

Con la misma fórmula, se puede extraer la previsión del modelo para el forward smile sustituyendo $t$ con una fecha futura $S$ , $t<S<T$ .

Ahora supongamos que tenemos un modelo de mezcla que consiste en una suma ponderada de dos volatilidades locales y el precio viene dado por:

$\text{Price}_{\text{mixture}} = p \cdot \text{Price}_{\text{LocVol1}} + (1-p)\cdot \text{Price}_{\text{LocVol2}}$

¿Cómo puedo extraer la sonrisa del modelo de mezcla?

Answer 1

Este sería mi ansatz; probablemente haya gente aquí que tenga una solución mejor:

Estoy siguiendo Notas didácticas de Gatheral sobre la volatilidad local (ecuación 5)

$$ \sigma_{loc}^2(K,T,S_0)\equiv \frac{\frac{\partial C}{\partial T}}{\frac{1}{2}K^2\frac{\partial^2C}{\partial K^2}} $$

o $$\frac{\partial C}{\partial T}=\sigma^2_{loc}(K,T,S_0)\frac{1}{2}K^2\frac{\partial^2C}{\partial K^2} $$

Por brevedad, presentaré $\sigma^2_{loc}$ , $C_{KK}$ y $C_T$ como es obvio, y voy a superindexar con $(i)$ para la opción o la superficie $i$ . Por lo tanto, para su mezclador $$ \begin{align} \sigma^2_{loc,mix}&=\frac{wC^{(1)}_T+(1-w)C^{(2)}_T}{\frac{1}{2}K^2\left(wC^{(1)}_{KK}+(1-w)C^{(2)}_{KK}\right)}\\ &=\frac{\frac{1}{2}K^2\left(w\sigma^2_{loc,(1)}C^{(1)}_{KK} +(1-w)\sigma^2_{loc,(2)}C^{(2)}_{KK} \right)}{\frac{1}{2}K^2\left(wC^{(1)}_{KK}+(1-w)C^{(2)}_{KK}\right)}\\ &=\frac{wC^{(1)}_{KK}}{wC^{(1)}_{KK}+(1-w)C^{(2)}_{KK}}\sigma^2_{loc,(1)}+\frac{(1-w)C^{(2)}_{KK}}{wC^{(1)}_{KK}+(1-w)C^{(2)}_{KK}}\sigma^2_{loc,(2)} \end{align} $$

Por supuesto, si las dos superficies implican segundas derivadas aproximadamente idénticas, se podría decir $\sigma^2_{loc,mix}=w\sigma^2_{loc,(1)}+(1-w)\sigma^2_{loc,(2)}$ pero lo más probable es que eso anule la idea original de mezclar superficies, ¿no?