Función de respuesta del modelo de Solow

Question

Consideremos un modelo de Solow sin progreso tecnológico de manera que el estado estacionario $k^*$ se produce en $sf(k^*) = (n+\delta)k^*$ donde $n$ es la tasa de crecimiento de la población, $\delta$ es la tasa de depreciación del capital y $s$ es la proporción de la producción que se ahorra e invierte. Dado que el consumo por trabajador es $c = f(k) - sf(k)$ ¿Cómo cambia el consumo en estado estacionario si $n$ ¿disminuye?

Intuitivamente, la producción por trabajador aumenta así $c = (1-s)f(k)$ también debería aumentar. Sin embargo, si trato de resolver el cambio numéricamente lo haría:

$c^* = f(k^*(s, n, \delta)) - (n+\delta)k^*(s, n, \delta)$ en el estado estacionario.

Así que, $\frac{\partial c^*}{\partial n} = f'(k^*)\frac{\partial k^*}{\partial n} - k^* -(n + \delta)\frac{\partial k^*}{\partial n}$ .

Reacomodando:

$\frac{\partial c^*}{\partial n} = [f'(k^*) - (n+\delta)]\frac{\partial k^*}{\partial n} - k^*$ .

Sabemos que $\frac{\partial k^*}{\partial n}$ < 0 ya que una mayor pendiente de la inversión de equilibrio hace que se cruce con $sf(k^*)$ a un nivel más bajo $k^*$ . El signo del término en el corchete es ambiguo, así que $\frac{\partial c^*}{\partial n}$ es ambigua.

Parece que hay una contradicción entre mi intuición y el análisis numérico, ¿en qué me he equivocado?

Answer 1

La dirección de $\frac{\partial c^{*}}{\partial n}$ no es ambiguo.

Una forma fácil de demostrarlo es tomando la derivada de $c^*=(1-s)f(k^*)$ para que $\frac{\partial c^{*}}{\partial n}=(1-s)f'\frac{\partial k^{*}}{\partial n}$ y porque $f'>0$ y podemos demostrar $\frac{\partial k^{*}}{\partial n}<0$ así tenemos $\frac{\partial c^{*}}{\partial n}<0$ .

A través de esto también se puede ver fácilmente que $c^{*}$ será monótona en $n$ y $\delta$ pero no será monótona en $s$ .

De alguna manera es más difícil probar esto desde $\frac{\partial c^{*}}{\partial n}=\left[f^{\prime}\left(k^{*}\right)-(n+\delta)\right] \frac{\partial k^{*}}{\partial n}-k^{*}$