Esto no se demuestra en Romer, pero es un resultado bien conocido. Para derivarlo matemáticamente hay que seguir los siguientes pasos:
En primer lugar, el capital como en Romer se deprecia por lo que la evolución del capital se dará:
$$k_t = k_{t-1} + i_t- \delta k_{t-1} \tag{1}$$
donde $k_t$ es el stock actual de capital, $k_{t-1}$ de capital anterior, $i_t$ es la inversión (donde la inversión es igual al ahorro $s$ ) que aumenta el capital y $\delta$ es la depreciación.
A continuación, para aumentar el stock de capital, el productor/inversor tiene que pagar el precio $P_t$ para la producción que se va a ahorrar y convertir en capital a través de $i_t$ . Suponiendo que mantengamos constante el trabajo, la recompensa que el productor obtiene por este sacrificio es el producto marginal del capital, ya que cuando el trabajo se mantiene constante la producción $y_{t+1}$ aumentará sólo por el producto marginal adicional que aporta el aumento de capital $f'(k)$ . Además, podemos suponer que en el siguiente período el capitalista puede vender su capital restante $(1-\delta)$ así como al precio $P_{t+1}$ .
En consecuencia, el rendimiento nominal neto de la inversión será: $P_{t+1}(f'(k_t) + 1 -\delta) - P_t$ y la tasa de rendimiento nominal de la inversión vendrá dada por:
$$ (P_{t+1}(f'(k_t) + 1 -\delta) - P_t)/P_t \tag{2} $$
Esto se puede simplificar como:
$$ (1-\pi_t) (f'(k_t) +1-\delta) -1 \tag{3}$$
donde $\pi_t$ es la tasa de inflación $(P_{t+1}+P_t)/P_t = \pi_t$ .
El interés del productor/inversor por la inversión mencionada depende de cómo se comporten otros rendimientos como los de los bonos o las deudas utilizadas para financiar la inversión. Llamemos a esos rendimientos $R_t$ .
Ahora bien, si suponemos que los mercados son perfectos, un inversor racional invertirá en capital cuando la rentabilidad nominal del capital sea superior a la de los bonos/deuda $R_t$ Pero a medida que la economía acumula más y más capital, el producto marginal del capital disminuye a medida que se vuelve más escaso (y viceversa si el rendimiento de los bonos/deuda es mayor) y, por tanto, en los mercados competitivos los agentes racionales invertirán hasta: $$ (1-\pi_t) (f'(k_t) +1-\delta) -1 = R_t \tag{4}$$
Además, la tasa de rendimiento nominal de los bonos $R$ tiene que satisfacer también la ecuación de Fisher:
$$(1+r_t) = (1+R_t)/(1+\pi_t) \tag{5}$$
donde $r_t$ es la tasa de rendimiento real. La ecuación de Fisher dice básicamente que la tasa de rendimiento real debe ser igual a la tasa nominal menos la inflación, ya que la función anterior puede aproximarse como $r_t \approx R_t - \pi_t$ utilizando el hecho de que $\ln(1+x)\approx x$ para $x\approx 0$ (esto viene de la expansión de Taylor). Esto debe mantenerse, ya que la gente en el mercado debería preocuparse por los rendimientos reales y, por lo tanto, deberían esperar ser compensados por la inflación cuando fijan los tipos de interés nominales.
Resolviendo la ecuación de Fisher (4) para el $R_t$ y sustituyendo en la ecuación (5) que iguala los rendimientos nominales entre el capital y los bonos/deuda se obtiene el resultado deseado:
$$r_t = f'(k_t)- \delta \tag{6}$$
La última ecuación dice que el rendimiento real del capital será igual al producto marginal menos la depreciación.
La intuición es sencilla, si los mercados son competitivos, entonces se invertirá en el capital siempre que proporcione mayores rendimientos que otra inversión. Pero cuanto más se invierta en el capital, menor será su producto marginal y, por tanto, su rendimiento nominal. Llega un momento en que se invierte tanto en capital que el producto marginal menos la depreciación (que hay que tener en cuenta porque disminuye el valor del capital) es igual al rendimiento real. Además, si el capital comenzara con un rendimiento inferior al de los bonos/deuda, la gente invertiría en ellos hasta que los rendimientos se igualaran. La suposición de un mercado perfecto es importante, ya que en presencia de imperfecciones del mercado la igualdad establecida por la ecuación (4) podría no mantenerse necesariamente (o, para ser más precisos, tendría parámetros adicionales que acabarían también en el resultado).
