Covarianza del movimiento browniano diferenciado

Question

Estoy teniendo algunas dificultades para mostrar lo que equivale a lo siguiente, donde $x$ y $y$ , $x>y$ distintas veces:

$\mathbb{E}[\Delta W_x \Delta W_y]$

donde cada $\Delta W_t = W_t - W_{t-1}$ .

Lo he descompuesto en sus cuatro términos, lo que permite tomar expectativas del producto de algún término W y otro, que creo que es 0 por independencia, pero eso hace que toda esta expectativa sea 0, lo que hace que la covarianza global que estoy resolviendo sea 0, lo que me parece fuera de lugar.

El problema completo que estoy tratando de resolver es:

$Cov(\Delta Z_t + \Delta\epsilon_t, \Delta Z_{t-i} + \Delta\epsilon_{t-i})$ ,

donde $Z_t = \kappa W_t$ y $i = 1,2,3,...$ , $W$ y $\epsilon $ independiente, así que la orientación sobre cómo hacerlo sería aún más apreciada, de verdad.

Answer 1

Una propiedad clave del movimiento browniano son los incrementos independientes. Por lo tanto, si $x-1 > y$ entonces $$ \mathbb{E}[\Delta W_x \Delta W_y] = 0 $$ porque los intervalos de tiempo [x-1,x] e [y-1,y] no se solapan. Si se solapan, es decir $x-1 \leq y < x$ entonces \begin{align} \mathbb{E}[\Delta W_x \Delta W_y] =&\ \mathbb{E}[(W_x - W_{x-1}) (W_y-W_{y-1})] \\ =&\ \mathbb{E}[(W_x - W_y + W_y - W_{x-1}) (W_y - W_{x-1} + W_{x-1} -W_{y-1})] \\ =&\ \mathbb{E}[(W_y - W_{x-1})^2] = y-x+1 \end{align} donde el penúltimo paso utiliza la propiedad de los incrementos independientes y el último paso utiliza el hecho de que el segundo momento del movimiento browniano es igual al paso de tiempo.