Precio del bono dada la matriz del estado del crédito

Question

"Consideremos un sistema de calificación crediticia que consta de cuatro estados, A, B y D (impago) con la siguiente probabilidad de transición crediticia anual:

A= [ 0.7, 0.2, 0.1; 0.2, 0.5,0.3; 0,0,1]

Para una empresa con calificación B, calcule el valor de un bono de 100 dólares con vencimiento dentro de tres años y un cupón anual de 5 dólares".

Esto es lo que pienso: Encontrar A^2 y A^3, y la segunda fila, tercera columna es la probabilidad de incumplimiento para el año 2, y 3 respectivamente.

Así, Valor = pago del cupón*exp-(tasa*tiempo)*probabilidad de impago (para los tres pagos). El tipo vendría de la segunda fila, segunda columna de la matriz A. ¿Sería esto correcto?

Answer 1

Suponiendo que la tasa de recuperación sea cero. La matriz de transición es una tabla con tres estados posibles para cada grupo:

         A        B        D

    A   0.7      0.2      0.1

    B   0.2      0.5      0.3

    D   0.0      0.0      1.0

Dado que la pregunta se refiere a una empresa que tiene una calificación B, se espera que haya un 50% de probabilidades de que la empresa permanezca en B durante el próximo período, que haya un 30% de probabilidades de que incumpla y que haya un 20% de probabilidades de que pase a A. Además, se supone que toda la matriz de transición es válida durante dos períodos más. Así que para obtener los cálculos de esta pregunta te recomiendo que construyas un árbol de eventos para una empresa que ahora está en B utilizando la regla de multiplicación de las probabilidades:

                                              B
              0.2                            0.5                  0.3
               A                              B                    D
       0.14  0.04   0.02             0.1     0.25    0.15     0.0 0.0 0.3   
        A      B      D               A        B       D       A   B   D
      0.014  0.012  0.02            0.01     0.075   0.15             0.3
        D      D      D               D        D       D               D    

Como puede ver, hay tres filas de números que representan la probabilidad de la calificación para los tres años para los que necesita encontrar los pagos esperados, también puede llamarlo el flujo de caja medio, es decir, si tuviera, por ejemplo, 10000 de estos bonos (cada uno con una empresa diferente y sus impagos no están correlacionados, una terrible representación del mundo real no obstante) podría esperar estos pagos medios multiplicados por 10000. Así que el flujo de caja esperado (pago medio) después del primer año es: $c_1=0.7*\$ 5+0.3* \$0 = \$ 3.5 $ i.e there is a 70% change you will receive \$ 5 y un cambio del 30% no obtendrás nada, en promedio obtendrás \$3.5. For the second year you can see that 47% have defaulted on average up to that point so the cash flow becomes $ c_2=(1-0.47)* \$5=\$ 2.65 $. For the third year you receive the face value of the bond \$ 100 más el cupón para las empresas que no han incumplido hasta ese momento. (nótese que no muestro cálculos redundantes del árbol de eventos para el 3er año) de manera que el flujo de caja esperado del tercer año es: $c_3=(1-0.581)*(\$ 105) = \$43.995$ .

Ahora ha obtenido el valor temporal de los pagos esperados y, a continuación, tiene que encontrar el valor actual y establecerlo como el precio del bono ahora. Suponiendo que se dispone de una curva de rendimiento (por ejemplo, el tipo de financiación), se pueden obtener los factores de descuento $D_t$ para el $t=1,2,$ y $3$ puntos del año para que el precio del bono sea $$P_{t=0}=D_1*c_1+D_2*c_2+D_3*c_3$$ Asumir que se recuperaría algo de las empresas morosas significa que habría que añadir alguna cantidad al precio del bono.

Volviendo a tu pregunta sobre la obtención de las probabilidades por defecto a partir de la multiplicación de matrices. La matriz de transición se llama A, que no debe confundirse con la calificación crediticia A. Puede obtener la suma de las probabilidades de impago para el segundo año mediante la multiplicación de matrices $AA$ se encuentra en la fila 2 columna 3, es decir, el número 0,47 y en el mismo lugar se encuentra el número 0,581 para $(AA)A$ así que tienes toda la razón.