Superficie de volatilidad de la calibración del modelo

Question

Digamos que tengo una estructura exótica que va a ser vega cubierta dinámicamente. Elijo ponerle precio con una volatilidad local (lo que significa que el modelo pone precio a sus futuras coberturas vega utilizando todas las opciones para todos los strike y todos los vencimientos). En la práctica la cobertura se realiza utilizando unas pocas opciones (equivalentemente unas pocas volatilidades implícitas). Mis preguntas son

-¿Qué significa vega para la estructura exótica? ¿Es una protuberancia de toda la superficie de volatilidad?

-¿Por qué necesitamos que el modelo esté calibrado para toda la superficie si en la práctica sólo vamos a comprar/vender unas pocas opciones?

Answer 1

En su artículo, Dupire (1994) desarrolló el enfoque de la volatilidad local bajo el supuesto de que las opciones se negocian para un continuo de vencimientos y strikes. En realidad, sólo se negocia un número finito de opciones que generen una red de strikes y de vencimientos. A continuación, la reconstrucción de la función de volatilidad local se obtiene se obtiene mediante métodos de interpolación. Sin embargo, cuando se reproducen estructuras exóticas, utilizando a Bredeen y Litzenberger se puede demostrar que el precio (a plazo) del contrato en el momento t para un precio inicial (a plazo) puede escribirse en términos de una combinación ponderada de spreads de mantequilla. En un mercado de opciones con un continuo de strikes cotizados, la densidad de transición a plazo neutral al riesgo es igual al precio de una estrategia de cartera butterly ifinitesimal.

Por lo tanto, la respuesta a su segunda pregunta proviene del enfoque de dependencia de Dupire de Breeden-Litzenberger.

En cuanto a sus primeras preguntas, no las entiendo del todo. En efecto, Dupire muestra cómo la función de volatilidad local es una función de un diferencial de calendario y una estrategia de mariposa. Además, Breeden-Litzenberger muestran que la réplica estática de una estructura exótica es proporcional a un par de opciones de venta y de compra ATM. De este resultado se deriva toda la metodología del VIX.

Answer 2

Aunque un modelo de volatilidad local $$ dS_t = \sigma(S_t,t) S_t dW_t $$ es capaz de ajustarse exactamente a los precios de mercado cotizados de las opciones vainilla, el concepto de vega en un modelo de volatilidad local está, en el mejor de los casos, mal definido, incluso para las opciones vainilla.

Sin embargo, si se insiste en obtener vega para una opción en un modelo de volatilidad local puro, entonces se podría modificar la forma funcional de la superficie de volatilidad local inicialmente calibrada manteniendo el spot sin cambios (un cambio en la volatilidad local debido a un cambio en el spot es básicamente parte de la delta del modelo de vol local): $\sigma(S_t,t) \rightarrow \sigma'(S_t,t)= \sigma(S_t,t) + \epsilon$ . Lo que sí hay que hacer es asegurarse de que la nueva superficie de volatilidad local bacheada no dé lugar al arbitraje, lo que, por lo que sé, no es un problema trivial.

En un modelo de volatilidad estocástica, $$ dS_t = \sigma_t S_t dW_t $$ $$ d\sigma_t = \eta \sigma_t dZ_t $$ La vega puede definirse como el cambio de valor de la opción, ya sea vainilla o exótica, por el salto del valor inicial de la volatilidad instantánea $\sigma_0 \rightarrow \sigma_0' = \sigma_0 + \epsilon$ . En los modelos de volatilidad estocástica la vega está bien definida ya que el bache no dará lugar a posibilidades de arbitraje.

Tanto los modelos de volatilidad local como los de volatilidad estocástica pueden traducirse en una superficie de volatilidad implícita para las opciones vainilla. Pero no se puede utilizar la superficie de volatilidad implícita de las opciones vainilla para calcular la vega de una exótica.

Mis dos centavos.