Cuando tratamos de maximizar la restricción de utilidad a un presupuesto. Encontramos la función de utilidad o curva de indiferencia que tiene como tangente la línea presupuestaria. En muchos libros de texto se equipara la relación de precios con la pendiente de la tangente, pero la pendiente de la línea presupuestaria es negativa, mientras que los precios relativos son positivos. ¿Cómo funciona esto? ¿Por qué no consideran el signo - de la recta presupuestaria?
Respuestas
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Alexandros B
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Matthias Benkard
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La respuesta +1 de Giskard es correcta, pero quería ampliarla para aportar más intuición.
Sí consideran el signo negativo y es porque ambos tienen pendientes negativas por lo que los números negativos se anulan entre sí. Este es el resultado de graficar el consumo de un bien en $x$ -y otro en $y$ eje. Considere la siguiente imagen del libro de texto Principios de Economía de Mankiw:
el cuadro del libro de texto de Mankiw dibuja una situación similar a la siguiente:
$U(x,y) = x^{\alpha}y^{\beta} \text{ s.t. } m = p_x x + p_y y$
donde $x$ sería la cantidad de pizza y $y$ cantidad de pepsi, $p_x$ y $p_y$ sus respectivos precios y $m$ limitación presupuestaria. Por supuesto, no podemos verificar que Mankiw utilizó exactamente esta especificación para la utilidad, pero necesitaba poner alguna utilidad concreta aquí y utilizar una diferente no cambiaría fundamentalmente la respuesta. Verás que aunque la restricción presupuestaria se da como:
$$m = p_x x + p_y y$$
para trazarlo en un sistema de coordenadas cartesianas tenemos que aislar $y$ (Pepsi). Así que, en realidad, la línea presupuestaria es la trama de esto:
$$y = \frac{m}{p_y} - \frac{p_x}{p_y}x$$
Además, para trazar la curva de indiferencia tenemos que hacer lo mismo con la utilidad manteniendo la utilidad constante por lo que tendremos:
$$U = x^{\alpha}y^{\beta} \implies y = \left( \frac{U}{x^{\alpha}}\right)^\frac{1}{\beta} $$
Ahora bien, en el primer caso puedes ver fácilmente que la pendiente es negativa porque es una función lineal. Sin embargo, en el segundo caso la pendiente también es negativa. Puedes comprobarlo tomando la derivada con respecto a $x$ que le dará la pendiente de la función y $dy/dx <0$ . Para ser más específicos la pendiente de la curva de indiferencia será:
$$-\frac{\alpha}{\beta} \left( \frac{U}{x^{\alpha}}\right)^{\frac{1}{\beta}-1} \left( \frac{U}{x^{\alpha-1}}\right) $$
Por lo tanto, lo que estás comparando es la pendiente de la restricción presupuestaria con la pendiente de la curva de indiferencia, ya que en el punto de tangencia sus pendientes tienen que coincidir:
$$-\frac{p_x}{p_y} = -\frac{\alpha}{\beta} \left( \frac{U}{x^{\alpha}}\right)^{\frac{1}{\beta}-1} \left( \frac{U}{x^{\alpha-1}}\right) \Leftrightarrow \frac{p_x}{p_y} = \frac{\alpha}{\beta} \left( \frac{U}{x^{\alpha}}\right)^{\frac{1}{\beta}-1} \left( \frac{U}{x^{\alpha-1}}\right) $$
Por lo tanto, aquí los dos valores negativos se anulan. Por supuesto, en los libros de texto clásicos (de licenciatura) no se hace así porque sería demasiado difícil, pero se hace comparando con $MRS$ (que es igual a la pendiente de la curva de indiferencia) donde se aplica la respuesta de Giskards.
Sin embargo, una razón intuitiva fundamental detrás de su respuesta es que simplemente tanto la restricción presupuestaria como la curva de indiferencia tienen pendientes negativas. Puedes verlo simplemente mirando la imagen: ambas son monótonamente decrecientes, por lo que su pendiente será negativa. Es posible que no siempre lo veas en los cálculos, porque dependiendo de cómo obtengas exactamente las dos pendientes, es posible que ya canceles los signos negativos. Por ejemplo, el típico libro de texto te dirá simplemente que compares la relación de precios $p_x/p_y$ a la tasa marginal de sustitución que será equivalente a la pendiente de la curva de indiferencia pero en su valor absoluto.
