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Derive las funciones de valor en el modelo de búsqueda de empleo

Estoy leyendo un documento que utiliza el marco común de búsqueda de empleo, que tiene funciones $\begin{aligned} &V_{r}\left(e_{r}\right)=w_{r}-e_{r}+\beta\left(q V_{u}+(1-q) V_{r}\left(e_{r}\right)\right) \\ &V_{r}\left(e_{o}\right)=w_{r}-e_{o}+\beta\left(q V_{u}+(1-q) V_{r}\left(e_{o}\right)\right)-\beta \sigma\left(V_{r}\left(e_{o}\right)-V_{u}\right) \\ & V_{u}=\bar{w}_{o}+\beta\left(n_{r} \max \left\{V_{r}\left(e_{r}\right), V_{r}\left(e_{o}\right)\right\}+\left(1-n_{r}\right) V_{u}\right) \end{aligned}$ .

A continuación, el documento deduce el salario mínimo regular que provoca un alto esfuerzo $e_r$ : $\begin{aligned} w_{r}\left(n_{r}\right) &=\min \left\{w_{r} \mid V_{r}\left(e_{r}\right) \geq V_{r}\left(e_{o}\right)\right\} \\ &=e_{r}+\bar{w}_{o}+\frac{\left(1-\beta\left(1-q-n_{r}\right)\right)\left(e_{r}-e_{o}\right)}{\beta \sigma} . \end{aligned}$ .

El significado del modelo no es importante aquí, sólo estoy confundido sobre la derivación aquí. Parece que son sólo tres incógnitas y tres ecuaciones, pero cuando lo hago encuentro que las ecuaciones pronto se complican y no puedo obtener el resultado simple de arriba. ¿Hay alguna regla útil para hacer la derivación en este tipo de situación?

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tdm Puntos 146

Obsérvese que el valor de $w_r(n_r)$ será tal que $V(e_r) = V_r(e_0)$ así que podemos poner esto igual a $V_r$ . Entonces las tres condiciones son $$ \begin{align*} &V_r = w_r - e_r + \beta (q V_u + (1 - q) V_r) \tag{1}\\ &V_r = w_r - e_0 + \beta (q V_u + (1 - q) V_r) - \beta \sigma(V_r - V_u) \tag{2}\\ &V_u = \bar w_0 + \beta (n_r V_r + (1 - n_r) V_u) \tag{3} \end{align*} $$

Reescribiendo esto obtenemos: $$ \begin{align*} &V_r(1 - \beta) = w_r - e_r + \beta q(V_u - V_r) \tag{1}\\ &V_r(1 - \beta) = w_r - e_0 + \beta(q + \sigma)(V_u - V_r) \tag{2}\\ &V_u(1 - \beta) = \bar w_0 - \beta n_r(V_u - V_r) \tag{3} \end{align*} $$ Tome la diferencia entre $(1)$ y $(2)$ y entre $(1)$ y $(3)$ da: $$ \begin{align*} &0 = e_0 - e_r - \beta \sigma(V_u - V_r) \tag{4}\\ &(V_r - V_u)(1 - \beta) = w_r -e_r - \bar w_0 + \beta(q + n_r)(V_u - V_r) \tag{5} \end{align*} $$ Equivalentemente: $$ \begin{align*} &V_r - V_u = \frac{e_0 - e_r}{\beta \sigma} \tag{6}\\ &(V_r - V_u)(1 - \beta(1 - q - n_r)) = w_r - e_r - \bar w_0 \tag{7} \end{align*} $$ Sustituyendo $(6)$ en $(7)$ da: $$ w_r = e_r + \bar w_0 + \frac{(1 - \beta(1 - q- n_r))(e_0 - e_r)}{\beta \sigma} $$ Así que, salvo el signo de la tercera parte de la derecha, esto es lo mismo (¿tal vez me he equivocado?)

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Bien, la clave está en el primer paso de reescritura. Ahora recuerdo que cuando aprendí el modelo de búsqueda del libro de texto siempre había este paso de reescritura pero no me di cuenta del propósito así que lo olvidé totalmente. Gracias.

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