¿Cómo aproximar el modelo de volatilidad estocástica con una cadena de Markov de estado finito?

Question

Una práctica común al calcular soluciones a problemas de optimización dinámica estocástica es aproximar un proceso de fuerza exógena $z_{t+1} = \rho z_t + \sigma \epsilon_{t+1}$ con una cadena de Markov de estado finito, por ejemplo, mediante el método de Tauchen o de Rouwenhorst. ¿Cuál sería una buena manera de discretizar un proceso AR(1) con volatilidad estocástica?

Es decir, si el proceso original AR(1)-SV se ve algo así: $$\begin{split} z_{t+1} &= \rho_z z_t + \mathrm{e}^{v_t} \sigma_z \epsilon_{t+1} \\ v_{t+1} &= \rho_v v_t + \sigma_v \eta_{t+1} \end{split}$$ con $\epsilon, \eta$ siendo choques gaussianos estándar independientes, mi objetivo es obtener valores $z_i$ y probabilidades de transición $p_{ij}$ ($i,j=1,\dots,n$) de manera que la cadena de Markov correspondiente aproxime el proceso continuo original.

Answer 1

Puedes hacer una aproximación del proceso para $z_t$ mediante un árbol binomial y luego tener un proceso diferente que controle el número de pasos que das en el árbol. Esto conserva la propiedad de recombinación y es esencialmente el método explorado en On the Computation of Continuous Time Option Prices Using Discrete Approximations (Amin (1991))

Desarrollamos una clase de modelos discretos, independientes de la trayectoria para calcular precios de opciones americanas dentro del marco de Black-Scholes (1973), incluyendo modelos en los que las variables de estado tienen funciones de volatilidad que varían en el tiempo y modelos con múltiples variables de estado. Las funciones de volatilidad que varían en el tiempo se ilustran con aplicaciones a modelos de estructura temporal desarrollados por Vasicek (1977) y Heath, Jarrow y Morton (1988), (1990). Distintos de trabajos anteriores en la literatura, los modelos multivariados sugeridos en este documento son consistentes con funciones de covarianza arbitrariamente grandes, aunque constantes. Finalmente, comparamos y contrastamos la precisión numérica de un gran número de modelos con resultados de simulación.

Luego podrías usar un proceso binomial AR(1) para el número de pasos.