Teoría de las preferencias racionales/decisión individual

Question

Este semestre estoy haciendo un curso avanzado de microeconomía. En uno de los problemas tenemos que determinar si la relación de preferencia es racional (es decir, completa y transitiva). Como no hemos discutido realmente el conjunto de vectores reales bidimensionales $X=R^2$ (no negativo), me pregunto si estas relaciones de preferencia son realmente racionales, y si es así, cómo se puede demostrar

(i) La relación definida por $(x_1,x_2)$ $(y_1,y_2)$ si y sólo si $x_1y_1$ y $x_2y_2$
(ii) La relación definida por $(x_1,x_2)$ $(y_1,y_2)$ si y sólo si $x_1y_1$
(iii) La relación definida por $(x_1,x_2)$ $(y_1,y_2)$ si y sólo si $\min\{x_1,x_2\} \min\{y_1,y_2\}$
(iv) La relación definida por $(x_1,x_2)$ $(y_1,y_2)$ si y sólo si $x_1>y_1$ o $x_1=y_1$ y $x_2y_2$

Answer 1

(i) No está completo. Por ejemplo, (10,5) no es $\succeq$ (9,6), porque $10>9$ pero $5<6$ . Sin embargo, (9,6) tampoco es $\succeq$ (10,5) por la misma razón. Por lo tanto, existe un par de paquetes $A,B$ de tal manera que ni $A\succeq B$ ni $B \succeq A$ . Por lo tanto, no es racional.

(ii) y (iii) son ambos racionales. Se puede ver esto mostrando directamente la transitividad y la completitud o se explota un resultado central en microeconomía: Una preferencia $\succeq$ puede representarse mediante una función de utilidad $u$ sólo si es racional. Para (ii), se puede definir $u(x_1,x_2)=x_1$ tal que $x_2$ no importa para las comparaciones, tal y como indica la preferencia. Para (iii), puede definir las preferencias de Leontief, $u(x_1,x_2)=\min(x_1,x_2)$ .

(iv) es un caso curioso, porque muestra por qué el resultado que explotamos antes es sólo "sólo si" y no "si y sólo si". Preferencias lexicográficas son racionales, pero no son representables por una función de utilidad estándar.

Para dos paquetes cualesquiera, la primera dimensión difiere, o la primera es igual y la segunda difiere o ambas son iguales. Por lo tanto, para dos haces cualesquiera tenemos $\succeq$ o $\preceq$ o ambos, es decir, las preferencias son completas. También son transitivas porque $X\succeq Y$ implica que, o bien $x_1>y_1$ o $x_1=y_1$ y $x_2\geq y_2$ y $Y\succeq Z$ implica que, o bien $y_1>z_1$ o $y_1=z_1$ y $y_2\geq z_2$ . Por lo tanto, o bien $x_1>z_1$ o $x_1=z_1$ y $x_2\geq z_2$ , lo que implica $X\succeq Z$ .