Supongamos que estimo un intervalo de confianza (frecuentista) para la media muestral de una variable $X$ , digamos que a un nivel del 95%. Supongamos que también estimo una confianza del 95% para la media muestral de una variable $Y$ .
Afirmación: no podemos rechazar la hipótesis de que $X$ y $Y$ tienen la misma media al nivel del 5% si y sólo si estos intervalos de confianza se solapan.
¿Es esto cierto? Tengo un vago recuerdo de que la respuesta es "no".
Sí, su vago recuerdo es correcto. Puede comprobarlo con un ejemplo trivial.
Tomemos $\bar{X}=10$ con $\sigma(X)=2$ y $n=30$ . Así que el $95\%$ El intervalo de confianza (utilizando la distribución t de Student) viene dado aproximadamente por $10 ± 0.75$ .
Supongamos ahora que $\bar{Y}=11$ con $\sigma(Y)=1$ y $n=30$ por lo que el $95\%$ el intervalo de confianza viene dado por aproximadamente $11 ± 0.37$ .
Los intervalos de confianza anteriores se solapan claramente ya que para $\bar{X}$ el límite superior es 10,75, pero para $\bar{Y}$ el límite inferior es $10.63$ pero cuando hacemos la prueba t para la diferencia de sus medias obtenemos:
$$ t=\frac{10-11}{\sqrt{\left(\frac{2^2}{30}+\frac{1^2}{30}\right)}} \\ \approx -2.5 $$
Por lo tanto, en este caso podemos rechazar claramente la hipótesis nula de que las medias son iguales incluso en $5\%$ (de hecho el $t$ -está muy cerca de ser rechazado en $1\%$ incluso) a pesar de que sus niveles de confianza se solapan.
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