Pregunta muy básica sobre los intervalos de confianza

Question

Supongamos que estimo un intervalo de confianza (frecuentista) para la media muestral de una variable $X$ , digamos que a un nivel del 95%. Supongamos que también estimo una confianza del 95% para la media muestral de una variable $Y$ .

Afirmación: no podemos rechazar la hipótesis de que $X$ y $Y$ tienen la misma media al nivel del 5% si y sólo si estos intervalos de confianza se solapan.

¿Es esto cierto? Tengo un vago recuerdo de que la respuesta es "no".

Answer 1

Sí, su vago recuerdo es correcto. Puede comprobarlo con un ejemplo trivial.

Tomemos $\bar{X}=10$ con $\sigma(X)=2$ y $n=30$ . Así que el $95\%$ El intervalo de confianza (utilizando la distribución t de Student) viene dado aproximadamente por $10 ± 0.75$ .

Supongamos ahora que $\bar{Y}=11$ con $\sigma(Y)=1$ y $n=30$ por lo que el $95\%$ el intervalo de confianza viene dado por aproximadamente $11 ± 0.37$ .

Los intervalos de confianza anteriores se solapan claramente ya que para $\bar{X}$ el límite superior es 10,75, pero para $\bar{Y}$ el límite inferior es $10.63$ pero cuando hacemos la prueba t para la diferencia de sus medias obtenemos:

$$t=\frac{10-11}{\sqrt{\left(\frac{2^2}{30}+\frac{1^2}{30}\right)}} \\ \approx -2.5$$

Por lo tanto, en este caso podemos rechazar claramente la hipótesis nula de que las medias son iguales incluso en $5\%$ (de hecho el $t$ -está muy cerca de ser rechazado en $1\%$ incluso) a pesar de que sus niveles de confianza se solapan.