Negociación de una acción con rebote

Question

Me encontré con la siguiente pregunta y estoy tratando de entenderla mejor. Esperaba que pudierais compartir vuestras intuiciones.

Para una acción determinada, usted está seguro de que durante los próximos 100 días, se se moverá un 10% hacia arriba o un 10% hacia abajo cada día con la misma probabilidad. Usted puede invertir ahora, pero si decide hacerlo, tiene que mantenerlo durante 100 días. ¿Lo haría?

En general, se puede demostrar fácilmente que el valor esperado en cualquier punto de este proceso es igual al valor inicial de la acción. Sin embargo, también se puede demostrar que la tasa de crecimiento geométrico esperada es negativa.

Ignorando el valor temporal del dinero, etc., el valor esperado de las acciones sugiere que uno debería ser indiferente a la hora de realizar la operación. Sin embargo, la tasa de crecimiento geométrica negativa sugiere que se perdería dinero a largo plazo.

¿Cuál es la forma correcta de interpretar estos dos valores? Tengo la impresión de que estoy malinterpretando lo que nos dicen y que hay una resolución sencilla para la "paradoja". ¿Harías la operación y cómo cambiaría tu respuesta si la acción subiera un 11% en lugar de un 10%?

Answer 1

El número de movimientos al alza de la acción $S$ después de 100 días sigue una distribución binomial. Para calcular el valor esperado de la acción tenemos que ponderar los valores mediante la función de masa de probabilidad. Después de 100 días tenemos $k$ movimientos ascendentes de $1+10\%$ y $100-k$ movimientos descendentes de $1-10\%$ es decir, el valor de las acciones es $S_0*(1+10\%)^k*(1-10\%)^{(100-k)}$ con probabilidad ${100}\choose{k}$$ *p^k*p^{(100-k)}$ donde $p=\frac{1}{2}$ . El valor esperado a T=100 es: $$E[S_{100}]= \sum_{k=0}^{100} S_0*(1+10\%)^k*(1-10\%)^{(n-k)}{{100}\choose{k}}*p^k*p^{(n-k)}$$ que es igual a $S_0$ pero el rendimiento geométrico esperado es: $$E[Return]= \sum_{k=0}^{100} (1+10\%)^k*(1-10\%)^{(n-k)}{{100}\choose{k}}*p^k*p^{(n-k)} - 1$$ que cuando se calcula es igual a 0. Por lo tanto, el precio medio de la acción es igual al valor inicial y la rentabilidad geométrica media es 0.

EDITAR : Si consideramos media retorno geométrico, es decir, retorno de la forma $\sqrt[n]{x_1*x_2*...*x_n} -1$ entonces tenemos: $$E[Mean GeomReturn]= \sum_{k=0}^{100} [\sqrt[n]{(1+10\%)^k*(1-10\%)^{(n-k)}} -1]{{100}\choose{k}}*p^k*p^{(n-k)}$$ Entonces, como el rendimiento geométrico medio es una función cóncava, tenemos: $$E[Mean GeomReturn] \leq E[Return]$$ Lo mismo ocurre con los rendimientos logarítmicos (cóncavos), es decir $$E[MeanLogReturn]= \sum_{k=0}^{100} Log{(1+10\%)^k*(1-10\%)^{(n-k)}} ]{{100}\choose{k}}*p^k*p^{(n-k)}$$ que tenemos: $$E[MeanLogReturn] \leq E[Return]$$

De hecho, para el proceso de las acciones que has descrito, la rentabilidad logarítmica esperada es negativa (después de 100 periodos es igual a -50%). Deberías tener mucho cuidado con eso, ya que mencionaste que el precio esperado de las acciones es igual a su valor inicial - y eso es cierto, pero tanto la rentabilidad logarítmica esperada como la rentabilidad geométrica media son negativas. Esto se debe a que el logaritmo aplana los rendimientos altos e infla los rendimientos negativos. Por ejemplo, si la acción vale 100, el próximo periodo 199 (rendimiento geométrico del 99%) o 1 (rendimiento geométrico del -99%), ¿cuáles son los rendimientos logarítmicos? +68% y -460% respectivamente. ¿Cuál es la rentabilidad logarítmica esperada? -390%. No tiene mucho sentido decir que de media se gana un -390% de rentabilidad logarítmica. Pero si se calculan los precios medios de las acciones en el próximo periodo $(0.5*199 + 0.5*1)$ y calcular la rentabilidad logarítmica de los precios medios, se obtendría una cifra fácilmente interpretable. $$log((0.5*199 + 0.5*1)/100)=0%$$ Por lo tanto, el orden de los cálculos es crucial aquí. Para facilitar la interpretación, yo aconsejaría calcular primero el precio esperado de las acciones $E[S_{100}]$ y luego calcular el retorno del logaritmo en eso. Deberías obtener el 0%.

EDITAR 2: Hay una buena interpretación de los rendimientos logarítmicos esperados (en lugar del logaritmo de los rendimientos esperados) (gracias a @fesman): si los rendimientos logarítmicos esperados son negativos, significa que a largo plazo hay más probabilidades de perder dinero que de ganarlo. En nuestro ejemplo tenemos una rentabilidad de un periodo de $(1+X)$ donde $X$ puede tomar valores de +10% y -10% con igual probabilidad. Después de N períodos tenemos: $$(1+x_1)*(1+x_2)*...*(1+x_n)$$ el retorno del registro es $$ln((1+x_1)*...*(1+x_N))=ln(1+x_1)+ln(1+x_2)+...(1+x_N)$$ Si $N$ es suficientemente grande, entonces esta suma se puede aproximar mediante una distribución normal (debido a la CLT). La media de $ln(1+X)$ es $$\hat x=E[ln(1+X)]$$ la varianza es: $$\sigma^2=E[(ln(1+X))^2]-E[(ln(1+X))]^2$$ Por lo tanto, la suma se distribuye aproximadamente de forma normal con una media $N*\hat x$ y la varianza $N*\sigma^2$ . Esto se puede representar como: $$N\hat x + \sqrt N*\sigma*Z$$ donde $Z$ es la rv normal estándar. Calculemos la probabilidad de que realmente perdamos dinero con esa inversión: $$P(N\hat x + \sqrt N*\sigma*Z < 0)=P(Z<\frac{-N*\hat x}{{\sqrt N}*\sigma})=\Phi(\frac{-N*\hat x}{{\sqrt N}*\sigma})$$ donde $\Phi$ es la FCD de la distribución normal estándar. Después de sustituir los números en la ecuación obtenemos que después de $N=100$ períodos la probabilidad de perder dinero es de ~69% (alto riesgo de perder dinero) y aumenta cuando N aumenta. Por lo tanto, un inversor con aversión al riesgo no aceptaría esta operación. Para obtener una probabilidad del 50% es fácil comprobar que la rentabilidad logarítmica esperada tiene que ser cero, no negativa.