Regresión IV: ¿primera etapa en logaritmos, segunda etapa en niveles?

Question

Tengo una regresión en niveles, derivada de la teoría.

Quiero instrumentar una de las variables, pero el mejor instrumento que encuentro tiene una débil correlación con la variable endógena en niveles, y una fuerte correlación en logaritmos. Ambas son muy heteroskedásticas.

¿Es posible instrumentar de alguna manera con la primera etapa en registros, y la segunda etapa en niveles?

Answer 1

Lo que usted describe es el llamado " regresión prohibida ", que (en general) no da estimaciones consistentes. Este es un resumen de la notas de Ben Williams

Consideremos una regresión (no lineal) de primera etapa de $X$ en los instrumentos $Z$ dando valores ajustados (por ejemplo, utilizando una especificación log-log): $$ \hat X = \hat \mu(Z) $$ Consideremos la ecuación estructural (causal): $$ Y = X'\beta + u $$ Lo que usted propone es utilizar $\hat X : \hat \mu(Z)$ en lugar de $X$ en la segunda etapa. Esto da: $$ \begin{align*} \hat \beta &= (\hat X' \hat X)^{-1} \hat X Y,\\ &= (\hat X' \hat X)^{-1} \hat X (X' \beta + u),\\ &= (\hat X' \hat X)^{-1} \hat X (\hat X' \beta) + (\hat X' \hat X)' \hat X'(X - \hat X)'\beta + (\hat X' \hat X)^{-1}\hat X u,\\ &= \beta + \underbrace{(\hat X' \hat X)' \hat X'(X - \hat X)'\beta}_A + \underbrace{(\hat X' \hat X)^{-1}\hat X u}_B, \end{align*} $$ Si $Z$ es un instrumento válido, se puede esperar que el $B$ se desvanece como $\hat X = \hat \mu(Z)$ y por suposición $\mathbb{E}(u|Z) = 0$ .

Ahora el $A$ términos es el verdadero problema. Fíjate que siempre podemos escribir: $$ X = \mathbb{E}(X|Z) + \eta,\\ \text{ with } \mathbb{E}(\eta|Z) = 0 $$ (aquí $\eta$ es simplemente $X - \mathbb{E}(X|Z)$ ).

A continuación, tomando la parte central del $A$ término da: $$ \hat X'(X - \hat X) = \hat X'(\mathbb{E}(X|Z) - \hat X) + \hat X'\eta,\\ $$ El último término debería desaparecer como $\mathbb{E}(\eta|Z) = 0$ . Sin embargo, el primer término sólo desaparece (en general) si $\hat X = \hat \mu(Z)$ es consistente para $\mathbb{E}(X|Z)$ que será el caso si $\mu(Z)$ es una especificación correcta de $\mathbb{E}(X|Z)$ .

Sin embargo, el 2SLS habitual es consistente como en este caso: $$ \hat X = Z(Z'Z)^{-1}Z'X. $$ Entonces: $$ \begin{align*} \hat X'(X - \hat X) &= X'Z(Z'Z)^{-1}Z'(X - Z(Z'Z)^{-1}Z'X),\\ &= X'Z(Z'Z)^{-1}Z'X - X'Z(Z'Z)^{-1}Z'Z(Z'Z)^{-1}Z'X,\\ &= X'Z(Z'Z)^{-1}Z'X - X'Z(Z'Z)^{-1}Z'X = 0 \end{align*} $$ Así que, o bien se hace un 2SLS normal, que será consistente si $Z$ no está relacionado con $u$ o puede utilizar lo que se llama mínimos cuadrados indirectos.

1. Regreso $X$ en $Z$ utilizando una regresión no lineal (por ejemplo, una regresión loglineal).

2. Utilizar los valores ajustados $\hat X = \hat \mu(Z)$ como instrumentos propios en un 2SLS de $Y$ en $X$ . Así que ejecute 2SLS con instrumentos $\hat X = \hat \mu(Z)$ en lugar de $Z$ . Como $\mu(Z)$ es una función de $Z$ también tenemos que $\mathbb{E}(u|\mu(Z)) = 0$ por lo que deberían ser instrumentos válidos.