¿Cuál es el crecimiento teórico esperado del valor de una opción durante un periodo de tiempo determinado?

Question

Digamos que una opción a cinco años del vencimiento tiene un valor de $x$ hoy. Teóricamente, en el marco de B/S, ¿cuál es su valor esperado en cinco años (al vencimiento)? ¿Suponemos que simplemente crecerá en línea con la tasa libre de riesgo a cinco años? ¿Podría proporcionar también alguna referencia que pueda citar para esto?

$E(v)_{t=5}=x(1+R_f)^5$

o $E(v)_{t=5}=xe^{5R_f}$ utilizando un compuesto continuo $R_f$

¿Esto es correcto? Si es así, ¿sólo es correcto en un marco de neutralidad del riesgo? ¿Y podemos decir $R_f$ ¿es la deriva en este caso (es la semántica adecuada)?

Gracias por su ayuda.

Editar: pensándolo bien, esto parece un poco defectuoso si estás profundamente fuera del dinero... Realmente no estoy seguro de cómo proceder. Básicamente mi pregunta es ¿cuál es el valor esperado de la opción al vencimiento cuando estás en el tiempo t?

Answer 1

El OP tiene toda la razón en su planteamiento y esta es la idea subyacente a la valoración neutral al riesgo o incluso al modelo BS. Si los supuestos del modelo Black-Scholes se mantienen, entonces un el pago derivado siempre puede ser replicado de tal manera que nunca proporcionaría un rendimiento superior al tipo de interés libre de riesgo , de lo contrario, dará lugar a oportunidades de arbitraje . Pero la suposición nunca se cumple en la realidad y encontramos una desviación en el precio real del precio BS.

Pero, en teoría, tienes razón.

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EDITAR : La OP ha preguntado por la variación esperada del precio de la opción, no por la variación real. Según la medida de riesgo neutro $(\mathbb{Q})$ el precio de la opción $v_t$ en el momento $t$ viene dada por $$v_t= e^{-r(T-t)}\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}\big[(S_T-K)^+\big]$$ donde, $\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}\big[(S_T-K)^+\big]$ es el pago esperado al vencimiento y puede escribirse como $$\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}\big[(S_T-K)^+\big]=v_te^{r(T-t)}$$ que muestran que el precio de la opción es esperado para aumentar a la tasa libre de riesgo como se señala en la OP.

Derivación formal $$v_t= e^{-r(T-t)}\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}\big[(S_T-K)^+|\mathscr{F_t}\big]\quad \tag{1}$$

Supongamos que $t_1 \in (t,T]$ por lo que el precio de la opción en $t_1$ $$v_{t_1}= e^{-r(T-t_1)}\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}\big[(S_T-K)^+|\mathscr{F_{t_1}}\big]\quad \tag{2}$$

Pero no tenemos historia de un proceso hasta el momento $t_1$ y todavía estamos a tiempo $t$ Así que $v_{t_1}$ en el momento $t$ es $$v_{t_1}|\mathscr{F}_t= e^{-r(T-t_1)}\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}\big[(S_T-K)^+|\mathscr{F_t}\big] \quad \tag{3}$$

Dividiendo la ecuación 3 de la ecuación 1, obtenemos $$\frac{v_{t_1}}{v_t}=\frac{e^{-r(T-t_1)}}{e^{-r(T-t)}}$$ $$v_{t_1}=v_te^{r(t_1-t)}$$ donde $v_{t_1}$ es el precio esperado de la opción en el momento $t_1$ dado en el momento $t$ .

Answer 2

El valor esperado de la opción al vencimiento es simplemente $$\mathbb{E}[(S_T-K)^+]$$ Tenga en cuenta que esto es bajo la medida del mundo real. En un marco B-S este valor viene dado por $$e^{rT}C(\alpha;S_0, K, \sigma, T)$$ Donde $C(r; S_0, K, \sigma, T)$ es el precio de la opción de compra B-S. Por tanto, la tasa de crecimiento esperada (utilizando una rentabilidad simple) es $$\frac{e^{rT}C(\alpha;S_0, K, \sigma, T)-C(r; S_0, K, \sigma, T)}{C(r; S_0, K, \sigma, T)T}$$ Sin embargo, la rentabilidad esperada continuamente compuesta no puede resolverse tan fácilmente, ya que el precio de la opción no es lineal en la tasa de crecimiento y entra en juego la desigualdad de Jensen.

Answer 3

La "mejor" aproximación es la de los griegos: $\Theta$ . Es la derivada del valor de la opción con respecto al plazo de vencimiento. Para una opción de compra viene dada por:

$$\Theta(\tau) = -\frac{\sigma}{2\sqrt{\tau}}S\phi(d_+) - r K e^{-r\tau} \Phi(d_+)$$

donde $\tau = T - t$ es el tiempo de maduración, $t$ es la hora actual, $T$ es la madurez y probablemente estés familiarizado con los otros símbolos (si no, consulta la wiki).

La variación aproximada del valor de la opción de compra es entonces

$$ C(t+\delta t) \approx C(t) + \delta t \frac{\partial C}{\partial t} = C(t) - \delta t \Theta(\tau)$$

Esta es la aproximación de primer orden y no tiene en cuenta la variación del precio subyacente al contado. Por lo tanto, si asumimos que el precio de las acciones no cambia, esta es una buena aproximación al cambio en el valor de la opción.

En realidad, no podemos ignorar lo subyacente. El precio de las acciones fluctuará al alza y a la baja, y esto se reflejará en la dependencia temporal del valor de la opción.