La ecuación (11) en el artículo de Kammeyer y Kienitz es una fórmula de valoración de opciones muy conocida y popular. Se remonta al trabajo de Lewis (2001), ver Teorema 3.2 en el artículo de Lewis.
Fórmula Original de Lewis (2001)
La fórmula en Lewis para el valor de un derivado de estilo europeo es $$V(S_0) = \frac{e^{-rT}}{2\pi} \int_{\color{red}{i}\nu-\infty}^{\color{red}{i}\nu+\infty}\varphi_T(-z)\hat{w}(z)\text{d}z,$$ donde
- $\nu$ es un número real. Define el camino a lo largo del cual integramos en el plano complejo: $\{z\in\mathbb{C}:\text{Im}(z)=\nu\}$. Aporto más información sobre esto a continuación.
- $\varphi_T$ es la función característica (generalizada) de $\ln(S_T)$, el precio de la acción logarítmico terminal en el cual depende nuestro pago de la opción
- $w$ es la función de pago (como función de $\ln(S_T)$). Para una opción de compra estándar, $w(s)=\max\{e^s-K,0\}$. La función $\hat{w}$ es la transformada de Fourier (generalizada) de la función $w$.
Nota: tanto $\varphi_T$ como $\hat{w}$ se evalúan en puntos en el plano complejo (¡no necesariamente en la línea real!)
Tu Fórmula
Kammeyer y Kienitz afirman que el valor en el tiempo $t$ de una opción de compra es $$C(t)=\frac{e^{-r(T-t)}}{2\pi} \int_{c-\infty}^{c+\infty} \varphi(-z)\hat{f}(z)\text{d}z.$$ Primero, dos puntos importantes
- Hay un pequeño error tipográfico en la fórmula. Los límites de la integral deben ser $\color{red}{i}c-\infty$ y $\color{red}{i}c+\infty$.
- Tu fórmula de valoración de opciones es para el precio de la opción en el tiempo $t$. Por lo tanto, todo es condicional en $\mathcal{F}_t$, la filtración generada hasta el tiempo $t$, ver esta respuesta. Lewis (2001) simplemente establece $t=0$.
El resto es idéntico a la fórmula original de Lewis. $\varphi$ es la función característica de $\ln(S_T)$, condicional en $\mathcal{F}_t$ y $f$ es la función de pago y $\hat{f}$ es su transformada de Fourier (generalizada).
Transformada de Fourier de la función de pago
Sea $f(x)=\max\{e^x-e^k,0\}$ el pago de una opción de compra estándar con precio de ejercicio $K=e^k$. ¡Esta función no está en $L^1$ y no tiene una transformada de Fourier tradicional! Sin embargo, tiene una transformada de Fourier generalizada. Normalmente, si $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, entonces definimos la transformada de Fourier (en finanzas) como $\hat{f}:\mathbb{R}\to\mathbb{C}, u\mapsto \int_\mathbb{R} e^{iux}f(x)\text{d}x$. Para que esta integral exista, $f$ necesita decaer rápidamente o tener un soporte compacto. La función de pago no cumple con esto.
La transformada de Fourier generalizada de $f$ es $\hat{f}:\mathcal{S}_f\subset\mathbb{C}\to\mathbb{C}, u\mapsto \int_\mathbb{R} e^{iux}f(x)\text{d}x$. ¡Por lo tanto, está definida para un subconjunto de los números complejos! Resulta que este $\mathcal{S}_f$ es una franja horizontal en el plano complejo. Podemos calcular la transformada para la función de pago de la siguiente manera \begin{align} \hat{f}(u) &= \int_{-\infty}^\infty e^{iux} \left(e^x-e^k\right)^+ \text{d}x \\ &= \int_k^\infty \left(e^{x(iu+1)} - Ke^{iux}\right) \text{d}x \\ &= \left[ \frac{e^{x(iu+1)}}{iu+1} - K\frac{e^{iux}}{iu}\right]_{x=k}^{x=\infty} \\ &= \frac{e^{ik(ui)}}{u(u-i)}. \end{align} Este último paso solo es válido si el término realmente se desvanece cuando $x\to\infty$. Esto solo ocurre si $\text{Im}(z)>1$. Por lo tanto, la franja para el pago de la opción de compra es $\mathcal{S}_f=\{z\in\mathbb{C}:\text{Im}(z)>1\}$. De manera similar, para una opción de venta, tenemos $\mathcal{S}_f=\{z\in\mathbb{C}:\text{Im}(z)<0\}$. Estas son las franjas de integración en las cuales las funciones de pago tienen una transformada de Fourier válida. Tenga en cuenta que ambas franjas excluyen la línea real (es decir, no hay una transformada de Fourier estándar).
Prueba de la Fórmula de Valoración de Opciones de Lewis
Comenzando con la valoración estándar de riesgo neutral, \begin{align} V &= e^{-rT}\mathbb{E}^\mathbb{Q}[w(\ln(S_T)] \\ &=e^{-rT}\mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[\frac{1}{2\pi}\int_{i\nu-\infty}^{i\nu+\infty}e^{-iz\ln(S_T)}\hat{w}(z)\text{d}z\right] \\ &=\frac{e^{-rT}}{2\pi}\int_{i\nu-\infty}^{i\nu+\infty}\mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[e^{i(-z)\ln(S_T)}\right]\hat{w}(z)\text{d}z \\ &=\frac{e^{-rT}}{2\pi}\int_{i\nu-\infty}^{i\nu+\infty}\varphi_T(-z)\hat{w}(z)\text{d}z \\ \end{align} Aquí, solo estamos utilizando la definición de transformadas de Fourier (inversas) generalizadas y el teorema de Fubini. También es posible una prueba utilizando el teorema de Plancherel (o el teorema de Parseval). Para que Fubini aplique y las integrales estén bien definidas, necesitamos integrar a lo largo de un camino en el complejo donde todos los términos estén bien definidos, de ahí la condición de $\nu\in\mathcal{S}_V=\mathcal{S}_w\cap\mathcal{S}_f^*$.
