Según el enfoque del Costo de Capital para la mezcla óptima de financiamiento, podemos calcular la proporción $\frac{D}{E}$ que minimiza el Costo de Capital de la siguiente manera:
$\frac{D}{E}_{opt} = argmin_{\frac{D}{E}}WACC$,
donde
$WACC = \frac{E}{D+E}r_{e} + \frac{D}{D+E}r_{d}(1-T)$
El Costo de Capital ($r_{e}$) se determina mediante el modelo CAPM (con niveles dados de tasa libre de riesgo $r_{f}$ y prima de mercado $r_{m}$):
$r_{e} = r_{f} + \beta_{L}r_{m}$
El valor apalancado de $\beta$ se determina mediante la ecuación de Hamada:
$\beta_{L} = \beta_{UL}(1+ \frac{D}{E}(1-T))$
El Costo de la Deuda ($r_{d}$) se determina utilizando el enfoque de calificación de bonos, donde cada intervalo de $\frac{D}{D+E}$ (en este caso 0%-10%, 10%-20% y así sucesivamente) se asigna con una cierta tasa de interés sobre la deuda.
Esto nos da:
$WACC = \frac{E}{D+E}(r_{f} + \beta_{UL}(1+ \frac{D}{E}(1-T))r_{m}) + \frac{D}{D+E}r_{d}(1-T)$
Supongamos $\frac{D}{E} = X$ Después de todas las simplificaciones tenemos:
$WACC = \frac{1}{X+1}(r_{f} + \beta_{UL}r_{m}) + \frac{X}{X+1}(1-T)(r_{d} + \beta_{UL}r_{m})$
Ahora todo lo que tenemos que hacer para minimizar es $\frac{\text{d}WACC}{\text{d}X} = 0$
Dado que $r_{d}$ es una función de $X$ y tendríamos que tomar $\frac{\text{d}r_{d}}{\text{d}X}$, en su lugar buscaremos el mínimo en cada intervalo (0%-10%, 10%-20% y así sucesivamente), donde $r_{d}$ será constante.
Tomando la derivada:
$\frac{\text{d}WACC}{\text{d}X} = \frac{(1-T)(r_{d} + \beta_{UL}r_{m}) - (r_{f} + \beta_{UL}r_{m})}{(X+1)^{2}}$
Suponiendo que X es no negativo, la única solución para
$\frac{(1-T)(r_{d} + \beta_{UL}r_{m}) - (r_{f} + \beta_{UL}r_{m})}{(X+1)^{2}} = 0$
es
$(1-T)(r_{d} + \beta_{UL}r_{m}) - (r_{f} + \beta_{UL}r_{m}) = 0$
Todas las variables aquí son constantes e independientes de $X$, lo que no nos da ninguna respuesta sobre la proporción óptima de $\frac{D}{E}$. ¿Estoy perdiendo algo aquí?
