Krugman 1980 AER, Derivando la Ecuaación 14

Question

He estado tratando de derivar la ecuación 14 del artículo de AER de 1980 de Paul Krugman. Sigo obteniendo un resultado diferente y, además, encuentro que la ecuación 14 del documento no equilibra los pagos cuando simulo el modelo numéricamente. Asumo que estoy haciendo algo mal y me gustaría que alguien señalara mi error. Aquí está mi derivación:

Contar con pagos equilibrados significa que el valor de las exportaciones del país de origen al extranjero debe ser exactamente igual al valor de las exportaciones del extranjero al país de origen (que son las importaciones del país de origen). Krugman divide las exportaciones e importaciones por el salario del país extranjero, $w^*$, para escribir el balance de pagos en unidades salariales del país extranjero. Usaré los subíndices $h$ y $f$ para indicar país de origen y extranjero, y usaré $c_{residencia,origen}$ para denotar la demanda de un individuo en el país de $residencia$ por un bien producido en $origen$ que ha sido enviado a $residencia$. La demanda individual de un bien representativo local por parte de un residente del país de origen es $c_{hh}$ y la demanda individual de un bien representativo extranjero (importación) por parte de un residente del país de origen es $c_{hf}$. De manera similar, la demanda individual de residentes del país extranjero por bienes locales e importados es $c_{ff}$ y $c_{fh}$. Dividir las importaciones por el costo de transporte en bloque de hielo, $g$, da la demanda total.

Los valores de las exportaciones del país de origen al país extranjero y las importaciones en el país de origen son:

$Exportaciones_h=p\frac{c_{fh}}{g}nL^*$, $Importaciones_h=p^*\frac{c_{hf}}{g}n^*L$

$$B=\frac{Exportaciones_h}{w^*}-\frac{Importaciones_h}{w^*}=\frac{p\frac{c_{fh}}{g}nL^*}{w^*}-\frac{p^*\frac{c_{hf}}{g}n^*L}{w^*}$$

Los individuos en cada país gastan todo su salario en bienes locales e importados:

$w=p{}c_{hh}n+p^*\frac{c_{hf}}{g}n^*$, $w^*=p^*c_{ff}n^*+p\frac{c_{fh}}{g}n$

Sustituir lo anterior por $w^*$ en el denominador de las exportaciones, y la ecuación para $w$ en el denominador de las importaciones, después de multiplicar por $\frac{w^*}{w}\frac{w}{w^*}=\frac{w^*}{w}\omega$:

$$B=\frac{Exportaciones_h}{w^*}-\frac{Importaciones_h}{w^*}\frac{w^*}{w}\omega=\frac{p\frac{c_{fh}}{g}nL^*}{p^*c_{ff}n^*+p\frac{c_{fh}}{g}n}-\frac{p^*\frac{c_{hf}}{g}n^*L}{p{}c_{hh}n+p^*\frac{c_{hf}}{g}n^*}\omega$$

Por definición (ecuación 12 de Krugman), tenemos:

$\sigma=\frac{c_{hf}/g}{c_{hh}}=\left(\frac{p}{p^*}\right)^{\frac{1}{1-\theta}}g^{\frac{\theta}{1-\theta}}$ y $\sigma^*=\frac{c_{fh}/g}{c_{ff}}=\left(\frac{p}{p^*}\right)^{\frac{-1}{1-\theta}}g^{\frac{\theta}{1-\theta}}$

Multiplicar las exportaiciones por $\frac{1/c_{ff}}{1/c_{ff}}$ y las importaciones por $\frac{1/c_{hh}}{1/c_{hh}}$ para reescribir las ecuaciones usando $\sigma$ y $\sigma^*$:

$$B=\frac{1/c_{ff}}{1/c_{ff}}\frac{Exportaciones_h}{w^*}-\frac{1/c_{hh}}{1/c_{hh}}\frac{Importaciones_h}{w}\omega=\frac{p\sigma^*nL^*}{p^*n^*+p\sigma^*n}-\frac{p^*\sigma{}n^*L}{pn+p^*\sigma{}n^*}\omega$$

Ahora, usando el hecho de que $\omega=p/p^*$, multiplicar las exportaciones por $\frac{1/p^*}{1/p^*}$ y las importaciones por $\frac{1/p}{1/p}$ para reemplazar los precios con $\omega$:

$$B=\frac{1/(p^*c_{ff})}{1/(p^*c_{ff})}\frac{Exportaciones_h}{w^*}-\frac{1/(p{}c_{hh})}{1/(p{}c_{hh})}\frac{Importaciones_h}{w}\omega=\frac{\omega\sigma^*nL^*}{n^*+\omega\sigma^*n}-\frac{(1/\omega)\sigma{}n^*L}{n+(1/\omega)\sigma{}n^*}\omega$$

Simplificando el denominador del término de las importaciones, puedo reescribir la expresión como:

$$B=\frac{\sigma^*n\omega{}}{\omega\sigma^*n+n^*}L^*-\frac{\sigma{}n^*}{\omega{}n+\sigma{}n^*}\omega{}L$$

Finalmente, usando $n=\frac{L(1-\theta)}{\alpha}$ y $n^*=\frac{L^*(1-\theta)}{\alpha}$ (ecuación 13 de Krugman), puedo simplificar aún más lo anterior como:

$$B=\omega{}L{}L^*\left[\frac{\sigma^*}{\omega\sigma^*L+L^*}-\frac{\sigma}{\omega{}L+\sigma{}L^*}\right]$$

Esta ecuación es similar, pero no es igual a la ecuación 14 de Krugman a continuación:

$$B=\omega{}L{}L^*\left[\frac{\sigma^*}{\sigma^*L+L^*}-\frac{\sigma}{{}L+\sigma{}L^*}\right]$$

Answer 1

Siguiendo la estrategia de @tdm, encontré notas de clase de destacados economistas comerciales Dave Donaldson, Gregory Corcos e Isabelle Mejean, y Alexander Tarasov. He escrito sus ecuaciones a continuación. Dado que sus ecuaciones para la razón salarial $\omega$ que equilibra el comercio condujeron a la misma solución que mi ecuación, creo que el documento original de Krugman debe tener un error tipográfico, como sugirió @tdm. Sin embargo, no pude encontrar una fuente definitiva que documentara este error tipográfico, a pesar de que varios conferenciantes parecen estar utilizando una ecuación diferente. Publico esta respuesta para ayudar a cualquier otra persona que pueda tener la misma pregunta. Sin embargo, estaría encantado de aceptar una respuesta que demuestre que este es un error tipográfico bien conocido documentado en algún lugar.

Ecuaciones de diapositivas de las clases de comercio: Donaldson, y Corcos y Mejean (co-profesores de un curso de Comercio), utilizan la misma ecuación para $\omega$. En su formulación reemplazan el parámetro CES de Krugman $\theta$ con $\sigma$, donde $\sigma=1/(1-\theta)$. También utilizan $\tau=1/g$ para los costos de transporte en forma de icebergs:

$\left(\frac{w}{w^*}\right)^{\sigma}=\frac{\tau^{1-\sigma}+(L/L*)(w/w*)^{1-\sigma}}{1+\tau^{1-\sigma}(L/L*)(w/w*)^{1-\sigma}}\tag{Donaldson,Corcos+Mejean}$

Tarasov utiliza la misma notación CES que Krugman, pero también reemplaza el parámetro de transporte en forma de icebergs con $\tau=1/g$:

$\frac{w}{w*}=\frac{L*+(\frac{w}{w*})^{\frac{\theta}{\theta-1}}L\tau^{\frac{\theta}{1-\theta}}}{L+(\frac{w}{w*})^{\frac{\theta}{1-\theta}}L*\tau^{\frac{\theta}{1-\theta}}}\tag{Tarasov}$