¿Algunas aclaraciones sobre las ecuaciones de utilidad y las curvas de indiferencia?

Question

Tengo la ecuación de utilidad $U(a,b) = a^{2}b^{3}$

¿Cómo puedo saber si las curvas de indiferencia son convexas? Tenía la impresión de que si:

$U_{a} > 0$ y $U_{b} < 0$

entonces la curva sería convexa. En este caso, esas condiciones no se cumplen, pero cuando intento graficar la ecuación, la curva parece convexa. ¿Qué me falta?

También son ciertas estas condiciones:

si $U_{a} > 0$ no hay utilidad marginal decreciente. si < 0 , hay utilidad marginal decreciente, y si = 0 , constante.

¿Son estas condiciones las mismas para los buenos $b$ ?

Me han dado mucha información contradictoria y ahora estoy confundido.

Answer 1

Desde un punto de vista matemático, la curva de indiferencia es un ecuación

$$I_{\bar u}:a^{2}b^{3} = \bar u$$

por cada $\bar u$ . Poner $b$ en el eje vertical y $a$ en el eje horizontal y escribirlo en función de $a$ :

$$b^3 = \bar ua^{-2} \implies b = (\bar u)^{1/3} a^{-2/3}$$

Esto caracteriza completamente la curva de indiferencia para $\bar u$ . Ahora tienes una función unidimensional, y para que sea convexa, su segunda derivada con respecto a $a$ debe ser no negativo. De hecho, es estrictamente positivo (suponemos que los bienes se miden en cantidades positivas, e ignoramos la solución de esquina poco interesante para $\bar u=0$ que es un solo punto).

Answer 2

La convexidad está definida por el quinto axioma de las preferencias del consumidor [A5'].

La convexidad se define así: $$ if \ x^1 \succeq x^2 $$ entonces $$ tx^1 + (1-t)x^2 \succeq x^1 \ \ \forall \ x \in \ [0,1] $$

Esto se puede hacer para definir estrictamente convexo cambiando $\succeq$ a $\succ$ .

En inglés, esto significa que si se toman dos puntos cualesquiera que se encuentran a lo largo de la misma curva de indiferencia (CI), que cualquier combinación $t(\cdot) +(1-t)(\cdot)$ de los dos tendrá una mayor utilidad.

En economía, ésta es la base matemática de nuestra intuición de las preferencias equilibradas. Los consumidores prefieren una cesta equilibrada de bienes a una que contenga cantidades "extremas" de cualquiera de ellos.

De ahí se deriva su relación con el MRS. La forma más débil de implicaría que a medida que te mueves de noroeste a sureste a lo largo del CI, la pendiente (MRS) es constante o decreciente. La convexidad estricta obligaría a que lo anterior fuera estrictamente decreciente.

Answer 3

Es necesario comprobar si hay una disminución Tasa marginal de sustitución ( $MRS$ ) para tener convexidad. El $MRS$ se define como: $$-\frac{db}{da}=\frac{MU_a}{MU_b}$$

Con $U(a,b)=a^2b^3$ lo tienes:

• $MU_a=\frac{\partial U(a,b)}{\partial a}=2ab^3$
• $MU_b=\frac{\partial U(a,b)}{\partial b}= 3a^2b^2$

Esto significa que en este caso:

$$MRS_{ab}=\frac{2ab^3}{3a^2b^2}=\frac{2}{3} \frac{b}{a}$$

Ahora hay que interpretar el $MRS$ que es bastante simple. Suponga que tiene $a=1$ y $b=6$ entonces $MRS_{ab}=4$ lo que significa que está dispuesto a renunciar a cuatro unidades de $b$ por una unidad adicional de $a$ . Ahora suponga que tiene $a \to +\infty $ entonces su Tasa Marginal de Sustitución sería igual a cero. Esto significa que usted no está dispuesto a renunciar a una unidad adicional de $b$ por una unidad adicional de $a$ . El MRS es decreciente si $a$ es creciente por lo que se tiene convexidad. Una Tasa Marginal de Sustitución decreciente nos indica que el individuo que estamos examinando prefiere los conjuntos de bienes equilibrados a los desequilibrados (5º axioma de la Preferencia del Consumidor).