¿Por qué las funciones de utilidad pueden ser continuas y qué implica esto para la utilidad marginal?

Question

Estoy estudiando microeconomía a nivel de introducción a la licenciatura y hay dos cuestiones relacionadas pero distintas que me desconciertan.

En primer lugar, mis libros de texto expresan las funciones de utilidad como funciones continuas por defecto, pero esto es desconcertante. Si el consumidor sólo puede consumir cantidades enteras (de hecho, por lo que he visto hasta ahora, las soluciones para la cesta óptima implican todas cantidades enteras), entonces seguramente la función de utilidad debería ser una función discreta, no continua. Una función de utilidad continua implica que una cesta óptima podría ser, por ejemplo, x=8,232324232342, y=3,23942.

En segundo lugar, incluso si aceptamos como hecho que una función de utilidad puede ser continua, ¿cómo interpretamos exactamente el concepto de utilidad marginal en un punto ? Así, por ejemplo, dada la función de utilidad (bien único) $U(X)=X^2+6X+7$ la utilidad marginal de consumir el 6º bien debería ser $U(6)-U(5)$ porque la utilidad marginal es el aumento de la utilidad como resultado de consumir una unidad adicional del bien. En cambio, la utilidad marginal es, de hecho, sólo, $U'(6)$ que no suele ser equivalente a $U(6)-U(5)$ (tampoco lo es en este caso). Entonces, ¿qué está pasando aquí? ¿Me estoy perdiendo algo? Sé que la primera forma se llama medida de "arco" y la segunda de "punto" - entiendo la medida de arco, pero no puedo entender la medida de punto. ¿Acaso la utilidad marginal no mide siempre el aumento de la utilidad derivado de consumir un ¿unidad adicional del bien? La medida de puntos parece implicar $U'(6) = U(6)-U(5.999999999...)$ .

Answer 1

Las funciones de utilidad pueden ser continuas porque las cantidades pueden ser continuas. (Piensa en litros en lugar de botellas de vino o en kilos en lugar de barras de pan.) Pero incluso si las cantidades son discretas; siempre que una unidad sea razonablemente pequeña (granos de sal: sí; coches: no) es mucho más conveniente trabajar con funciones suaves que con las discretas, ya que las primeras permiten calcular las derivadas.

Los libros de texto introductorios suelen utilizar cantidades discretas ("utilidad adicional de consumir la siguiente unidad") para definir la utilidad marginal, ya que es más intuitiva. Sin embargo, en cuanto se tienen funciones de utilidad suaves, es mejor utilizar la derivada de la utilidad. Piensa en la medida puntual como el límite de la medida del arco a medida que el aumento de la cantidad llega a cero. (Así es más o menos como se define la derivada.) Si las cantidades son discretas pero muy pequeñas y su función de utilidad es razonable, entonces las dos medidas son casi idénticas de todos modos. Por ejemplo, si su función de utilidad está definida sobre $x$ = el número de granos de sal en sus patatas fritas, entonces, usando por ejemplo $u(x)=1-(x/100-1)^2$ , su $MU$ en $x=100$ es $0$ si utiliza el derivado y $-0.0001$ si sólo calcula $u(101)-u(100)$ . Para encontrar la cantidad óptima, se debe establecer $MU=0$ es, por supuesto, más fácil que enumerar 200 valores discretos y buscar el máximo.