Puedo visualizar fácilmente el problema de maximización de la utilidad es decir. $$v(\mathbf{p},m^{*})= \max_{\mathbf{x}} \ u(\mathbf{x}) \ \ s.t \ \ \mathbf{px}\leq m$$ Dado que es bastante fácil graficar las curvas de indiferencia y la restricción presupuestaria (en $\mathbb{R}^{2}$ ), en el $(x_{1},x_{2})$ espacio. Pero tengo problemas para encontrar referencias que me muestren una ilustración del problema de minimización de gastos (que por supuesto es el problema dual al de utilidad máxima). Es decir, ¿cómo puedo visualizar
$$e(\mathbf{p},u^{*})= \min_{\mathbf{x}} \ \mathbf{px} \ \ s.t \ \ u(\mathbf{x}) \geq u^{*}$$
Mi propósito para querer entender esto, es que quiero ver visualmente cómo bajo un vector de precios diferente (digamos $\mathbf{p}'$ ), puedo visualizar cómo aún podemos lograr la utilidad $u^{*}$ (también en algún espacio de parámetros bajo $\mathbb{R}^{2}$ ); de forma similar a como podemos ajustar los vectores de precios para encontrar otro presupuesto que nos dé idéntica utilidad que el presupuesto $\mathbf{px}=m$ daría.
Otro espacio de parámetros que se me ocurre es el $(m,u)$ espacio. Es decir, el espacio (de la renta, de la utilidad). Podríamos escribir un gasto inverso como alguna función de utilidad con pendiente positiva, y la función de utilidad indirecta, no decreciente en la renta (tal vez cóncava), y encontrar alguna tangencia allí.
