Cómo obtener estadísticas de los parámetros estructurales tras estimar un modelo de forma reducida

Question

Digamos que tengo un modelo estructural $y_t = \alpha + (1+\psi)x_t$ . Estimo el modelo $y_t = \alpha + \beta x_t + e_t$ utilizando OLS. Puedo retirar el parámetro estructural $\psi$ a mano.

¿Qué tal los errores estándar y las estadísticas t para $\psi$ ? ¿Puede hacerlo algún software econométrico? ¿O tengo que hacerlo a mano? Por mano me refiero a utilizar el modelo $(y_t-x_t) = \alpha_1 + \psi_1 x_t + u_t$ para obtener los errores estándar de $\psi$ ?

Actualización: He comprobado en stata, SE para $\psi_1$ y $\beta$ son los mismos. Así que supongo que eso es todo. Por lo tanto, ¿los errores estándar para los parámetros de forma reducida y los estructurales son los mismos?

Answer 1

Depende $\ldots$ En su configuración, el parámetro estructural $\psi$ es simplemente $1$ menos el valor del parámetro de la forma reducida $\beta$ : $$ \psi = 1 - \beta. $$ En este caso, la media del estimador $\psi_n$ será simplemente la media de $1 - \beta_n$ y tendrán la misma varianza (ya que la varianza no cambia si añadimos un número fijo o cambiamos de signo).

Si tenemos una transformación general (no lineal): $$ \psi = g(\beta), $$ entonces la forma más común de proceder (y de obtener errores estándar consistentes asintóticamente) es utilizando el método delta, que se basa en una expansión de Taylor de primer orden ( wiki ). En particular, si $g$ es $C^1$ y si: $$ \sqrt{n}(\beta_n - \beta) \to^D {\cal N}(0, \sigma^2), $$ lo tendremos: $$ \sqrt{n}(g(\beta_n) - g(\beta)) = \sqrt{n}(\psi_n - \psi) \to^D {\cal N}(0, \sigma^2 \cdot [g'(\beta)]^2). $$ Así que la media asintótica de $\sqrt{n}(\psi_n - \psi)$ será igual a cero (lo que significa que $\psi_n$ es consistente y la varianza asintótica es la varianza asintótica de $\beta_n$ multiplicado por la derivada $g'(\beta)$ al cuadrado.

Tenga en cuenta que si $g$ es una simple traducción, entonces $g' = \pm 1$ por lo que el cuadrado es $1$ y la varianza será igual a $\sigma^2$ .

Para estimar $\sigma^2 \cdot [g'(\beta)]^2$ puedes utilizar el estimador de plugins consistente: $$ \hat \sigma^2_n \cdot [g'(\beta_n)]^2. $$ donde $\hat \sigma^2_n$ es un estimador consistente de $\sigma^2$ .