Simplificar la deriva
Como en todas las EDEs lineales, dejemos que $Y_t=e^{-\mu t}X_t$ . Entonces, \begin{align*} \text{d}Y_t &=-\mu e^{-\mu t}X_t\text{d}t+e^{-\mu t}\text{d}X_t \\ &=\mu b e^{-\mu t}\text{d}t+\sigma Y_t\text{d}W_t. \end{align*}
Regla del producto
Consideremos el movimiento browniano geométrico $Z_t$ con $\text{d}Z_t=\sigma^2Z_t\text{d}t-\sigma Z_t\text{d} W_t$ y $Z_0=1$ tal que $Z_t=\exp\left(\frac{1}{2}\sigma^2 t-\sigma W_t\right)$ .
Entonces, \begin{align*} \text{d}Y_tZ_t&= Y_t\text{d}Z_t+Z_t\text{d}Y_t+\text{d}Y_t\text{d}Z_t \\ &=\sigma^2Y_tZ_t\text{d}t-\sigma Y_tZ_t\text{d} W_t+\mu b e^{-\mu t}Z_t\text{d}t+\sigma Y_tZ_t\text{d}W_t-\sigma^2Y_tZ_t\text{d}t \\ &=\mu b e^{-\mu t}Z_t\text{d}t. \end{align*} Así, \begin{align*} Y_tZ_t-Y_0Z_0=\mu b\int_0^te^{-\mu s}Z_s\text{d}s. \end{align*} Finalmente, \begin{align*} X_t&=X_0e^{\mu t}Z_t^{-1}+\mu be^{\mu t}Z_t^{-1}\int_0^te^{-\mu s}Z_s\text{d}s\\ &=e^{\mu t}Z_t^{-1}\left(X_0+\mu b\int_0^te^{-\mu s}Z_s\text{d}s\right). \end{align*} Sin embargo, no creo que la distribución de $X_t$ que incluye un movimiento browniano geométrico integrado, se conoce? Esta es toda la lucha de la fijación de precios de las opciones asiáticas.
Casos especiales
Podemos recuperar dos casos especiales:
- Si $\mu=0$ obtenemos $X_t=X_0\exp\left(-\frac{1}{2}\sigma^2 t+\sigma W_t\right)$ .
- Si $b=0$ obtenemos $X_t=X_0\exp\left(\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right) t+\sigma W_t\right)$ .
