Del precio de la mariposa a la probabilidad de $S_T$ Entrar en un rango

Question

Si una mariposa en el límite representa una probabilidad (por el resultado de Breeden-Litzenberger), ¿qué se puede decir de la probabilidad relativa de una variable aleatoria $S_0$ del precio de una opción vainilla construida mariposa con strikes prácticos (es decir, no infinitesimales)?

Por ejemplo, con el precio de la mariposa $$B = C(S,K-\delta,t-T,\sigma, r) - 2*C(S,K,t-T,\sigma, r) + C(S,K+\delta,t-T,\sigma, r) $$

donde $\delta = \text{{width of Butterfly}}/2$ ¿podemos decir a través de alguna relación de $B$ y $\delta$ -o- $K$ ¿la probabilidad de estar dentro de un rango en el momento del vencimiento?

Me interesa saber qué podemos decir sobre la probabilidad con sólo los datos de la propagación de la mariposa. Una aproximación, como la de la eq'n de Black-Scholes: $C(S,t)\approx 0.4Se^{-r(T-t)}\sigma\sqrt{T-t}$ .

He aquí un primer intento:

Tomemos $S=10$ , $K=10$ , $\delta=1$ , $t-T=0.25$ , $\sigma=0.25$ y $r=0.01$ sin dividendos ni flujos de caja hasta su vencimiento.

$$B = $ 1.15 - 2\cdot $0.51 + $ 0.174 = $0.304$$

Así que tenemos $B=\$ 0.34 $ and $ \N - delta= \$1$ . Suponemos que la apuesta es justa: las pérdidas son igual de probables que los beneficios. Así que el mercado piensa que esta "operación" tiene las mismas posibilidades de ganar dinero que de perderlo. La mariposa tiene un beneficio de equilibrio en el rango $[K-\delta +B, K+\delta-B]=[\$ 9.34, \$10.66]$ . Si tuviéramos una función de distribución uniforme, podríamos decir que el mercado tiene una probabilidad del 50% de estar dentro o fuera de este rango. Ya hemos asumido una distribución normal utilizando los precios de BSM (¿se puede relajar esto?), así que esto es sólo una aproximación. ¿Podemos hacerlo mejor?

¿Qué supuestos necesitamos? Por ejemplo, asumiría que no podemos ignorar la inclinación cuando $\delta$ no se acerca a cero.

Editar - Tenga en cuenta que la probabilidad de expirar dentro de un rango y la probabilidad de que la operación sea rentable son diferentes.

Answer 1

¿Está buscando algo así?

Entonces puede encontrar esto en las páginas 113-114 del libro Introduction to quantitative finance de Stephen Blyth.

Espero que esto ayude.

Answer 2

Esta es la información que se puede deducir de la mariposa: el precio (no descontado) de la mariposa (ajustado para pagar \$1) es aproximadamente igual a la mitad de la probabilidad de que $S_T$ estará en el rango $[K-\delta; K+\delta]$ .

$\frac{B_T(K-\delta;K+\delta)}{\delta.DF_T}\approx\frac{p(S_T\in[K-\delta; K+\delta])}{2}$

Esto se debe a que el área cubierta por el pago de la mariposa es la mitad de la de un hipotético producto que paga \$1 uniformly in the range $ [K-\delta; K+\delta]$.

Es sólo aproximado porque la densidad de la probabilidad en sí no es uniforme dentro del rango, por lo que la mitad del área que se recorta puede corresponder o no a la mitad del "área ponderada por la probabilidad".

Answer 3

No vas a tener un límite superior en la probabilidad sin más condiciones en la distribución terminal de tu proceso de precios, no importa lo pequeño que sea el precio de mercado $V_B$ de nuestra mariposa podría ser.

Consideremos una distribución terminal que contiene un delta de Dirac (masa puntual) en algún $K-\delta < S < K$ sin ninguna otra masa en la región de pago de la mariposa, e ignorar los factores de descuento. Sea la masa de Dirac $M$ . El valor de nuestra opción se calcula simplemente como

$$ V = M \cdot (S-(K-\delta)) $$

o, para abreviar, $V = M \cdot \eta$ .

Dado el precio de mercado $V_B$ de nuestra mariposa, vemos que una distribución terminal con masa puntual correspondiente a $\eta = V_B / M$ coincide con el precio de mariposa del mercado, y puede explicar una probabilidad de $M$ .

(Si $\eta > \delta$ entonces podemos simplemente poner alguna masa en un punto diferente)

Dado que la distribución terminal delta de Dirac puede encontrarse como límite de los procesos continuos de Ornstein Uhlenbeck, lo mismo ocurre con los procesos continuos.

Ahora, un baja límite de probabilidades puede se encuentra. El valor de la opción es un límite inferior para el precio de la opción $V_S$ de la función escalonada con pago $\delta$ en el $K-\delta < S < K+\delta $ y cero en caso contrario.

También tenemos $$ V_S = \delta \cdot \mathrm{Prob}( K-\delta < S_T < K+\delta ) $$

de lo que concluimos

$$ \mathrm{Prob}( K-\delta < S_T < K+\delta ) = V_S / \delta > V_B /\delta $$