La demanda marshalliana con las preferencias de Leontif

Question

Consideremos una función de utilidad de la forma $u(q_{1},q_{2},q_{3}) = min\{\alpha ln(q_{1}) + (1 - \alpha) ln(q_{2}), ln(q_{3})\}$

Sé que un comportamiento óptimo requiere $\alpha ln (q_{1}) + (1 - \alpha) ln(q_{2}) = ln(q_{3})$

He intentado sustituir esto en la restricción presupuestaria (después de elevar ambos lados a la potencia de $e$ )

$p_{1}q_{1} + p_{2}q_{2} = y$

Pero no estoy seguro de cómo proceder para encontrar la demanda marshalliana, ya que tengo dos variables $(q_{1}, q_{2})$ y sólo una ecuación. He probado diferentes transformaciones pero mi principal problema es que parece que me falta una ecuación.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

EDIT: Acabo de releer la pregunta y he especificado mal la restricción presupuestaria. El consumidor sólo gasta en $q_{1}$ y $q_{2}$ .

Answer 1

Por lo tanto, no he resuelto las matemáticas que hay detrás de esto. Prefiero tomar un atajo y calcularlo numéricamente. Esto es lo que tengo.

Se trata de las superficies de contorno y la restricción presupuestaria. Fíjate en que la solución estará en la curva "enroscada" en el centro de cada superficie.

Los niveles 1 y 2 son sólo a modo de ejemplo. El tercer nivel, u = 3,92762 está relacionado con la siguiente parte de mi respuesta. Además, BC es la curva presupuestaria con ingresos = 300. He elegido $\alpha = 0.5$ y $P_1 = 2, P_2=3, P_3=1$ .

Ahora, utilizando los parámetros mencionados en el último párrafo, el máximo se encuentra en $q_1 = 65.8896, q_2 = 39.1448, q_3 = 50.7863$ y la utilidad maximizada es $u = 3.92762$ . He supuesto que todos los bienes se consumen estrictamente en cantidades positivas.

Adjunto mi código de Mathematica para que puedas replicar y modificar estos resultados como quieras

u = Min[a*Log[q1] + ((1 - a)*Log[q2]), Log[q3]]

BC = p1*q1 + p2*q2 + p3*q3
a = 0,5; p1 = 2; p2 = 3; p3 = 1;

ContourPlot3D[{u == 1, u == 2, u == 3,92762, BC == 300}, {q1, 0,
100}, {q2, 0, 100} , {q3, 0, 100}, AxesLabel -> Automático,
ContourStyle -> {Opacidad[0.5], Opacidad[0.5], Opacidad[0.5], Opacidad [1]}, Mesh -> None, PlotLegends -> "Expressions"]

NMaximize[{u, BC <= 300, q1 > 0, q2 > 0, q3 > 0}, {q1, q2, q3}, Reales]