Tasa marginal de sustitución para complementos perfectos

Question

Me he encontrado con el siguiente problema:

Determine la tasa marginal de sustitución MRS(x1, x2) en el punto (x1, x2) = (5,1) para la siguiente función:

u(x1, x2) = min(x1, x2).

La solución es que el MRS está indefinido en ese punto.

Sin embargo, no entiendo por qué es así. Con esta función de utilidad, obtenemos una trayectoria de expansión de la renta que va exactamente a 45 grados del origen, porque los dos bienes se consumen siempre en cantidades iguales. Y hasta donde yo sé, la MRS de dicha función (u(x1, x2) = min(x1, x2)) sólo es indefinida en los ángulos exactos de estas curvas, es decir, donde x2 = (/)x1. En el problema que nos ocupa, sin embargo, tenemos x2 < (/)x1, es decir, 1 < 5. ¿No debería esto significar que la MRS en el punto (5, 1) es realmente 0 y no indefinida?

Answer 1

Creo que esta es una especie de pregunta con trampa.

En primer lugar, tienes toda la razón en que la MRS no está definida en la curva de indiferencia - esto es trivial La MRS es la pendiente de la curva de indiferencia, que en este caso tiene forma de L, y las derivadas no están definidas en la curva.

Esto nos deja con otras dos partes de la función en forma de L. La parte vertical y la parte horizontal.

Sobre la parte horizontal de la curva de indiferencia $\alpha x_1 > \beta x_2$ el MRS se da como:

$$MRS= \frac{U'_{x_1}}{U'_{x_2}} = \frac{0}{\beta}= 0 $$

Así que aquí el MRS está claramente definido.

Sin embargo, en la parte vertical donde $\alpha x_1<\beta x_2$ tendremos un problema desde entonces:

$$MRS = \frac{U'_{x_1}}{U'_{x_2}} = \frac{\alpha}{0} = \infty | x_1 \wedge x_2 \geq 0 $$

pero aquí a causa de la división por $0$ algunos siguen diciendo que el MRS no está definido.

Sin embargo, la parte complicada aquí es la elección de qué bien va $x$ -eje y qué bien va en $y$ -El eje es arbitrario. Normalmente la gente pondría $x_1$ en $x$ -eje y $x_2$ en $y$ -pero, en principio, no hay ningún problema en poner $x_1$ en $y$ -eje y $x_2$ en $x$ -eje. En ese caso, el resultado anterior sería exactamente el contrario.

Si se trata de un examen, a menudo las personas que redactan los ejercicios se limitan a hacer una simple clave de respuestas que podría no cubrir todas las soluciones posibles y tal vez la clave de respuestas incluya una opción en la que su papel se invierta.

Answer 2

Me equivoqué antes. Estoy de acuerdo contigo, parece que debería ser cero, y sólo indefinido en el pliegue, donde las derivadas de las funciones de utilidad no existen.

Piensa en la utilidad de Leontief como en la utilidad CES, donde $\lim \rho \rightarrow \infty$ . La utilidad del CES es: $$U(x_1,x_2, \rho) = (x_1^\rho + x_2^\rho) ^{1/\rho}$$ La MRS de una función de utilidad CES es: $$MRS = - (\frac{x_1}{x_2})^{\rho-1} $$ Tomando el límite como $\rho \rightarrow \infty$ : $$MRS = -(\frac{x_1}{x_2})^{\infty}$$ Cuando $x_2 > x_1$ el MRS es negativo es infinito negativo. Cuando $x_1 > x_2$ (como ocurre aquí), el MRS es 0. Cuando $x_1 = x_2$ la función de utilidad de Leontief no es diferenciable y esta función no existe.

Fuente:

Notas de clase de teoría microeconómica de Guoqiang Tian (2013)