Básicamente estás pidiendo un modelo de crecimiento y sí hay muchos, los dos más populares son:
- Modelo de crecimiento Solow-Swan.
- Modelo de crecimiento endógeno.
Voy a repasar una versión simplificada de ambos modelos para responder a cómo "G" depende del tiempo y también cómo "N" juega un papel, pero voy a cambiar el nombre de todas las variables para seguir la terminología económica estándar y la notación, ya que su terminología no estándar es un poco confusa y por todas partes. Además, sólo presentaré las versiones más sencillas de estos modelos, omitiendo algunas derivaciones en aras de la brevedad, para versiones más avanzadas y un tratamiento completo le dirigiría hacia Romer Advanced Macroeconomics o Barro & Sala-i-Martin Economic Growth.
Modelo Solow-Swan
El modelo Solow-Swan es actualmente el modelo más dominante en la economía dominante, ya que este último modelo de crecimiento endógeno, aunque teóricamente atractivo, es muy difícil de probar empíricamente. En resumen, en este modelo la evolución del PIB (producción real, indicada por $Y$ ) dependería de a) una tecnología dada exógenamente (denotada por $A$ ) el crecimiento ( $g$ ) y también la población ( $L$ ) el crecimiento ( $n$ ). Sin embargo, el nivel de vida no sólo depende del total de $Y$ pero en $Y$ per cápita (un país con 100 PIB pero 10 personas es posiblemente más rico que un país con 100 PIB pero 100 personas).
El modelo es el siguiente:
Tenemos que empezar por especificar alguna función de producción, ya que necesitamos tener alguna forma de determinar la producción $Y$ . Un ejemplo clásico sería:
$$Y = F(K,L) = K^{\alpha}AL^{1-\alpha}$$ ,
donde $K$ es el stock de capital y $L$ la mano de obra que, por simplicidad, se supone que corresponde a la población. Además, la función de producción se expresará por unidad de trabajador efectivo ( $AL$ ):
$$\frac{Y}{AL}= F(\frac{K}{AL},1) = (\frac{K}{AL})^{\alpha} = f(k) = k^{\alpha}$$
con $0<\alpha<1$ y $f(0)=0, f'(k)>0$ & $f''(k)<0$ . La evolución de la población y la tecnología en el modelo vendría dada por $\dot{L}(t) = nL(t)$ y $\dot{A}(t) = gA(t)$ . Además, la evolución de $K$ viene dada por $\dot{K}(t)= sY(t) -\delta K(t)$ donde $sY(t)$ es la proporción de la producción ahorrada según la tasa de ahorro $s$ y $\delta$ es la tasa de depreciación, es decir, la tasa de descomposición del capital.
Me saltaré la mayoría de las derivaciones, pero bajo las condiciones anteriores se puede demostrar que el capital por persona tiene la siguiente dinámica: $\dot{k}=sf(k(t))-(n+g+\delta)k(t)$ . Dadas estas condiciones en un estado estacionario (un estado en el que $\dot{k}=0$ ) se puede demostrar que la evolución del capital ( $K=ALk$ ) será dada por:
$$\frac{\dot{K}}{K} = n+g \implies \frac{\dot{Y}}{Y}=n+g $$
La razón por la que la implicación anterior se mantiene es porque en este caso la función de producción implica rendimientos constantes a escala. Si se expresa en términos per cápita, el crecimiento de $Y/L$ será simplemente $n$ .
Por lo tanto, su economía marciana cerrada crecerá al ritmo de $n+g$ en términos absolutos y per cápita a la tasa de $n$ . Por lo tanto, en este modelo la producción/PIB de su economía marciana crecerá siempre que el crecimiento combinado de la población y la tecnología sea mayor que cero ( $n+g>0)$ y se reduciría si la desigualdad fuera en sentido contrario. En términos per cápita sólo importaría el crecimiento de la tecnología. El stock de $Y(0)$ y la población $L(0)$ así como el capital $K(0)$ (que no mencionas) que la gente llevará a la marte determinará las condiciones iniciales pero no la tasa de crecimiento de la colonia.
Como menciona Giskard en sus +1 comentarios, la solución exacta depende de los supuestos sobre la función de producción. Por ejemplo, si no tuviéramos rendimientos constantes a escala también se produciría la $Y$ no crecería exactamente a $n+g$ pero, en general, la tasa de crecimiento de la producción total seguiría siendo una función de $n$ y $g$ y la producción per cápita de $g$ .
Modelo de crecimiento endógeno
No trataré el modelo de crecimiento endógeno con tanto detalle como el modelo de Solow-Swan, ya que el modelo de crecimiento endógeno es mucho más complejo e incluso un tratamiento superficial llevaría varias páginas. Sin embargo, trataré algunas desviaciones del modelo de Solow-Swan.
En el modelo de crecimiento endógeno, la tasa de crecimiento de la tecnología ( $g$ ) no sólo está dada exógenamente, sino que está determinada por el modelo. Por ejemplo, según el libro de texto de Romer mencionado anteriormente, un modelo endógeno simple inspirado en los trabajos de Romer, Grossman y Helpman y Aghion y Howitt utilizaría la siguiente función de producción:
$$Y(t) = ((1-a_k)K(t))^{\alpha} (A(t)(1-a_L)L(t))^{1-\alpha}$$
con el cambio de tecnología dado por:
$$\dot{A}(t) =B(a_k K(t))^{\beta} (a_L L(t))^{\gamma}A(t)^{\theta}$$
Traducido al inglés sencillo, la primera ecuación dice que la producción vendrá dada por la proporción de capital y personas dedicadas a la producción de bienes y servicios ( $(1-a_k)K(t)$ y $(1-a_L)L(t)$ respectivamente, así como la tecnología $A$ - esto es realmente una versión modificada de la función de producción de la primera parte.
La siguiente ecuación, en términos sencillos, dice que el cambio de tecnología en el tiempo depende de la cantidad de capital y trabajo que se dedique a la producción de esta nueva tecnología, así como del stock actual de tecnología ( $a_k K(t)$ , $a_L L(t)$ y $A(t)$ ) respectivamente.
No voy a dar una solución rigurosa a este problema, pero la solución mostraría que dependiendo de cuáles sean exactamente los parámetros del modelo - especialmente el $\theta$ parámetro que nos dice cuál será el efecto del conocimiento actual y el "éxito" de la I+D futura. Si los conocimientos pasados facilitan la generación de conocimientos futuros $\theta>1$ si es más difícil $\theta<1$ y si su efecto es constante $\theta=1$ . Voy a simplificar demasiado, pero en general si $\theta<1$ el modelo predecirá prácticamente el mismo resultado que el modelo de Solow. Si $\theta>1$ el modelo mostrará una tasa de crecimiento económico cada vez mayor y, en ese caso, tener más gente tendrá un impacto dramático en la aceleración del crecimiento económico. Si $\theta=1$ el crecimiento de la población seguirá siendo importante, pero el efecto no será tan dramático como en el caso anterior, e incluso si el crecimiento de la población es cero, la tasa de ahorro desempeñará un papel crucial en la determinación del crecimiento a largo plazo.
Resumiendo, en este caso dependiendo de cuáles sean los parámetros del modelo podemos decir que el resultado será similar al del modelo de Solow o que aquí el crecimiento de la población y elegir la tasa de ahorro también importará para el crecimiento de la producción económica en su colonia de Marte. Como en el caso anterior, el crecimiento cesaría o la producción disminuiría si la tecnología o los factores de producción disminuyeran.
Además, de nuevo los modelos de crecimiento endógeno tienen muchas variantes, pero la conclusión general de estos modelos es que el crecimiento de la población o las decisiones de los pueblos de invertir en I+D también pueden afectar a la tasa de crecimiento per cápita de la producción. Por lo tanto, en este caso, la tasa de crecimiento de su colonia marciana también dependería del número de personas en Marte y de cuántas de ellas se dedican a la "producción" de I+D o, más en general, de cuánto deciden invertir los recursos en dicha tarea.
PD: Observará que ninguno de los modelos anteriores se preocupa realmente de cómo se distribuyen las personas entre los diferentes sectores de la economía (su A, B, C y D) - aparte de la fracción de factores de producción dedicada a I+D en el modelo de crecimiento endógeno o de cuánto dinero tiene la economía. El stock de dinero no debe confundirse con la producción o el PIB y, dado que la mayoría de los economistas consideran que el dinero es neutral a largo plazo, la mayoría de los modelos de crecimiento económico ni siquiera incluyen explícitamente el stock de dinero, ya que no se considera importante.
Además, el tratamiento aquí es superficial, sólo para mostrar algunas formas diferentes de cómo se podría pensar en el problema. Para un tratamiento más completo debes consultar las fuentes que he citado y las que se citan en ellas.
