Cobertura de la operación de spreads de direccionalidad simple
Si la suma de los riesgos del comercio $t$ son cero (como en el caso de la operación de diferencial 2Y5Y10Y) que inmediatamente da un punto de partida desde el que hacer un simple cálculo para un ajuste.
Por ejemplo, si se asume que el primer componente principal es el impulsor del mercado directo y que las cargas de los factores representan una volatilidad relativa de un instrumento con el mercado directo, entonces
Si se dividen las posiciones comerciales entre las cargas de los factores, se eliminará este componente.
$$ \mathbf{\frac{t}{e_1} \cdot e_1} = \sum_i t_i = 0 $$
donde la división se hace por elementos. En este caso el ajuste $\mathbf{x}$ es la diferencia:
$$ \mathbf{x} = \mathbf{ \frac{t}{e_1} - t} \quad \implies (\mathbf{t + x}) = \mathbf{\frac{t}{e_1}}$$
Tenga en cuenta que ésta no es la única forma de realizar este cálculo. No es una solución única; este método tiene la ventaja de ser relativamente fácil con una suposición transparente sobre su diseño.
Caso más general
En el caso de que los riesgos de $\mathbf{t}$ no suman 0, o se desea cubrir más de un componente principal, podemos considerar otras opciones.
Un concepto razonable es sugerir que se busca $\mathbf{x}$ de manera que sea lo más pequeño posible, y el cambio a $\mathbf{t}$ es, por tanto, mínima en cierto sentido.
También hay que decidir si se permiten otros instrumentos en $\mathbf{x}$ o si debemos ceñirnos a 2Y 5Y o 10Y. Supongamos que por ahora nos quedamos sólo con esos 3 instrumentos y formulamos el problema de optimización con respecto al $l_2$ norma:
$$ \min_{\mathbf{x}} f(\mathbf{x}) = \frac{1}{2} \mathbf{x^T I x} $$
$$ \text{subject to} \quad \mathbf{e_1^T (t+x)} = 0 \quad \text{(1st PC hedged)}$$
Se trata de un programa cuadrático con una restricción de igualdad que puede resolverse mediante las condiciones KKT:
$$ \nabla L(\mathbf{x},\lambda) = \begin{bmatrix} \mathbf{I} & \mathbf{e_1} \\ \mathbf{e_1^T} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \lambda \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \mathbf{0} \\ \mathbf{e_1^T t} \end{bmatrix} = 0 $$
Con un pequeño reordenamiento, la fórmula de inversión de la matriz en bloque y la cancelación nos queda el resultado:
$$\begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{I - e_1 e_1^T} & \mathbf{e_1}\\ \mathbf{e^T_1} & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mathbf{0} \\ -\mathbf{e_1^T t} \end{bmatrix} $$
o $$ \mathbf{x} = -\mathbf{e_1 e_1^T t} \quad \implies \mathbf{(t+x)} = (\mathbf{I - e_1 e_1^T) t }$$
Grados de libertad
Los dos métodos anteriores darán resultados diferentes, pero ambos son válidos bajo sus supuestos inherentes. El método general puede utilizarse para neutralizar más de un componente, por ejemplo, si se desea neutralizar PC1 y PC2 (las restricciones de optimización se amplían). Pero al hacerlo se reducen los grados de libertad de la solución. Por ejemplo, en una configuración de 3 instrumentos, si se neutralizan PC1 y PC2, la única solución válida es que la operación sea un múltiplo de PC3.
