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¿Pierde el modelo CRR su integridad si añadimos otro instrumento?

Consideremos el modelo binomial/CRR multiperiodo con un activo de riesgo $S^{1}$ y un numerario $S^{0}$ . Al ver que la medida martingala equivalente está determinada de forma única, obtenemos que el mercado es completo.

Una pregunta que me he hecho es si añadir otro activo de riesgo $S^{2}$ al mercado arruina la integridad. Intuitivamente, el mercado ampliado no debería ser completo porque podría construir una serie de medidas de martingala equivalentes. ¿Hay alguna forma de argumentar con átomos en el espacio subyacente? Estoy buscando una buena prueba.

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Completitud significa: (i) ausencia de costes de transacción y (ii) precio para cada activo en todos los estados posibles del mundo. Intuitivamente, añadir otro activo no debería afectar a la completitud. Si dibujamos dos árboles binomiales y "fingimos" que son dos espacios muestrales, podemos "fusionarlos" utilizando la fórmula de Fubini "Medida del producto" .

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drN Puntos 571

Respondo desde un punto de vista general del modelo de tiempo discreto/estado discreto. Esto incluye el modelo de árbol binomial como un caso especial. En dimensiones finitas, se pueden interpretar los pagos y los rendimientos de los activos como vectores y recurrir al álgebra lineal.

Suponga que tiene $N$ estados de la naturaleza y $J$ activos. Su matriz de pagos es \begin{align*} A=\begin{pmatrix} X_1(\omega_1) & ... & X_J(\omega_1) \\ X_1(\omega_2) & ... & X_J(\omega_2) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ X_1(\omega_N) & ... & X_J(\omega_N) \end{pmatrix} \En el caso de que se trate de un matiz de R, el número de veces que se ha de utilizar es J, \fin donde $X_i(\omega_j)$ denota la retribución del activo $i$ en el estado $j$ .

La integridad significa ser capaz de cubrir cualquier resultado en el espacio de estado. Su espacio de estados es $\mathbb{R}^N$ . La cuestión es la siguiente

Dado cualquier pago $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^N$ , hace una cartera de réplica (o de cobertura), $\mathbf{q}\in\mathbb{R}^J$ existen tales que $A\mathbf{q}=\mathbf{x}$ ? Es decir, ¿se puede conseguir este beneficio comerciando con los activos disponibles?

En el lenguaje matemático, la pregunta es cuál es el rango de la matriz (= dimensión del espacio que abarcan sus columnas)? El rango no es más que el número de columnas linealmente independientes (pagos de los activos). Si la matriz $A$ tiene un rango completo, cada pago puede ser replicado y el mercado es completo. En realidad, la completitud sólo significa tener un activo (linealmente independiente) para cada estado de la naturaleza. Evidentemente, sólo nos preocupan las columnas independientes lineales cuando hablamos de spanning. Obsérvese que $\text{rank}(A)\leq\min\{N,J\}$ .

En su caso, hay dos estados de naturaleza y tres activos, $N=2$ y $J=3$ . Por tanto, el rango de la matriz puede ser como máximo dos. Si los dos primeros activos (la cuenta bancaria sin riesgo y las acciones con riesgo) tienen pagos linealmente independientes (deberían), entonces $\text{rank}(A)=2$ y el mercado está completo. Añadir cualquier número de activos al modelo no tiene ninguna repercusión porque, de todos modos, todos los pagos adicionales (activos) son combinaciones lineales de la cuenta bancaria y de sus acciones originales. Por lo tanto, añadir más activos a su mercado lo mantiene completo.

De hecho, si su mercado no estuviera completo (porque su primera acción ''de riesgo'' no es más que una cuenta bancaria a escala), añadir un activo adicional podría ayudar a que su modelo fuera completo. Cuanto más activos haya, más probable será que el modelo esté completo.

Más información sobre los árboles binomiales: Utilizando un sistema de átomos de la filtración, se dividen en submodelos de un período. En cada submodelo, se aplica el argumento anterior y, por tanto, cada submodelo es completo. Como resultado, todo el árbol (modelo) es completo. Por el teorema fundamental de la fijación de precios de los activos, un mercado completo que no permite el arbitraje tiene una única medida martingala equivalente.

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