Maximización de beneficios para un monopolio

Question

Entre dos países, Richland y Poorland, con una estricta prohibición de ventas transfronterizas acordada con el gobierno de Poorland. Las funciones de demanda respectivas de ambos países son:

$Q_{poor} = 10 - P_{poor}$ y $Q_{rich} = 14 - 0.5P_{rich}.$

El coste total, TC, en millones, depende de la cantidad total de unidades producidas $Q = Q_{rich} + Q_{poor}$ y también incluye 5 millones de costes fijos.

TC $= 5+2Q + \frac{Q^2}{8}$

I. ¿Cuál es la estrategia de maximización de beneficios? Indique los precios y las cantidades, así como la cantidad de bienestar social generada.

II. ¿También son los precios anteriores coherentes con la regla de las elasticidades?

¿Puede alguien ayudarme con esto?

$\textbf{My Idea:}$ Tomé los derivados del TC para encontrar MC. Aislé $P$ para pobres y ricos y lo multiplicó por $Q$ para encontrar cada función de ingresos, luego lo resté de TC para obtener el ingreso total, luego tomé la derivada para encontrar MR = MC; que es esta la maximización para un monopolio. ¿Es este camino el óptimo? ¿Puede alguien ayudarme a resolver esto? Gracias por su tiempo y ayuda.

Answer 1

Un monopolista maximiza el beneficio. Para mí, suele ser más fácil hacerlo en el espacio de la cantidad. Así que reordena la demanda y maximiza $$\max_{Q_p,Q_r} \quad P_p(Q_p)Q_p + P_r(Q_r)Q_r - TC(Q_p+Q_r)$$ $$\max_{Q_p,Q_r} \quad (Q_p-10)Q_p + (28-2Q_r)Q_r - 5-2(Q_r+Q_p) -\frac{(Q_r+Q_p)^2}{8}$$ El BDC te da dos ecuaciones con dos incógnitas, $Q_r$ y $Q_p$ , que tú resuelves. Ambas ecuaciones FOC pueden escribirse en la forma $MR=MC$ . A continuación, se conectan estos $Q$ s en las ecuaciones de demanda para obtener los precios. A continuación, se calcula el excedente del consumidor y el excedente del productor y se suman para obtener el bienestar social.