construcción de una cartera de varianza mínima

Question

Supongamos que una empresa estadounidense ha vendido algo a una empresa noruega. Recibirá 1 millón de coronas noruegas dentro de dos meses y desea cubrir este flujo de caja futuro contra el riesgo de cambio. No es posible cubrir las coronas y los dólares directamente, pero la empresa puede cubrirse con euros, ya que los euros se comportan de forma similar a las coronas. Se dan los siguientes datos:

Tipos de cambio:

0.164 \$/Kroner $ =: K$;

0.625 \$/€ $ =: M$;

0,262€/corona.

coeficiente de correlación entre $K,M: \sigma_{K,M}=0.8$

desviaciones estándar:

$\sigma_{M}= 3\%$ , $\sigma_{K}=2.5\%$ al mes.

Estoy confundido ya que en realidad no tenemos dos activos, donde tenemos que encontrar las ponderaciones óptimas en la cartera, sino que tenemos un solo activo, que son los futuros entre Euros y Dólares. ¿Puede alguien mostrarme cómo trabajo con estos datos, y explicar la solución?

Answer 1

En sentido estricto, se trata de un problema de cobertura por delegación. Hay que cubrir una moneda con otra. Se supone que la matriz de covarianza de un período es $$\Sigma_{1}=\left[\begin{array}{cc} 0.03 & 0\\ 0 & 0.025 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 1 & 0.8\\ 0.8 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 0.03 & 0\\ 0 & 0.025 \end{array}\right] $$

Así que se puede calcular la matriz de covarianza de dos períodos como $$\Sigma_{2}=2\Sigma_{1}$$

Según tus suposiciones, tienes una cartera que es efectivamente $-100\%$ a corto plazo la Corona. Se podría plantear un problema de optimización para encontrar $$w\equiv argmin\left\{ \left(w-w_{b}\right)'\Sigma_{2}\left(w-w_{b}\right)'\right\} $$ donde $w_{b}\equiv\left[\begin{array}{c} 0\\ -1 \end{array}\right]$ y restringir a los pesos para que $w$ no invierte en la corona.

Sin embargo, en este caso, puede hacerlo de forma más sencilla. Puede escribir la varianza de la cartera (utilizando los valores de $\Sigma_{2}$ ) como $$\sigma^{2}=w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2}+w_{2}^{2}\sigma_{2}^{2}+2w_{1}w_{2}\sigma_{1,2}$$ y como $w_{2}$ ya se sabe que es igual a $-100\%$ puedes minimizarlo directamente para encontrar $$w_{1}=-w_{2}\frac{\sigma_{1,2}}{\sigma_{1}^{2}} $$ lo que equivale a $w_{1}=\frac{2}{3}$ . Entonces, sólo habría que convertir ese peso en una cantidad de euros para comprar.

Answer 2

La razón para cubrir el riesgo de cambio es que el acuerdo se hizo teniendo en cuenta el tipo de cambio actual, y la empresa quiere asegurarse de recibir la misma cantidad de dólares (o más) en 2 meses que acordó ahora.

Suponiendo que los tipos de cambio se mantengan igual, cuando cobren:

K 1M = $ 164,000 or € 262,000

La varianza que se quiere minimizar es la varianza $/K, que es la varianza de nuestro flujo de caja futuro a pagar en 2 meses. Estamos diciendo que no podemos simplemente comprar los futuros NOK/USD, y como el euro está altamente correlacionado con las coronas, podemos utilizar el euro.

Recuerda que también tienes dólares, así que en realidad tienes 2 activos. Si compras todos los euros, te expones al riesgo de que el dólar gane sobre el euro, y si te quedas con todos los dólares, te expones a que el euro (y la corona) gane sobre el dólar. Por lo tanto, creo que la varianza mínima de su flujo de caja futuro se alcanzará comprando alguna combinación de dólares y euros.