Calibración del modelo Heston con tasa corta estocástica

Question

Tengo el siguiente modelo de Heston con tasa corta estocástica: \begin{eqnarray*}dS\left(t\right)&=&r\left(t\right)S\left(t\right)dt+\nu\left(t\right)S\left(t\right)dW^{S}\left(t\right)\\dr\left(t\right)&=&\beta\left(\alpha-r\left(t\right)\right)dt+\sigma\sqrt{r\left(t\right)}dW^{r}\left(t\right)\\d\nu\left(t\right)&=&\kappa\left(\theta-\nu\left(t\right)\right)dt+\xi\sqrt{\nu\left(t\right)}dW^{\nu}\left(t\right)\end{eqnarray*}

donde todos los procesos de Wiener pueden estar correlacionados. ¿Cómo puedo calibrar este modelo? He oído que si el tipo de interés a corto plazo no está correlacionado con el proceso del precio de las acciones, entonces podemos calibrar primero el tipo de interés a corto plazo (¿cómo hacer esto? ¿qué instrumentos debemos utilizar?) y luego calibrar el proceso de las acciones con, por ejemplo, los precios de las opciones de compra. ¿Por qué esto es posible sólo cuando estos dos componentes no están correlacionados? ¿Cuál es la correlación entre las acciones y los tipos de interés en la práctica? Si las acciones y los tipos de interés están correlacionados, ¿cómo se puede calibrar este modelo?

Answer 1

Si tomamos tu modelo al pie de la letra (con la corrección que sugerí como comentario), entonces no existe ninguna forma (semi)cerrada, en mi opinión, que puedas utilizar para la fijación de precios de los activos. Lo que se podría hacer es entonces simplificar un poco el modelo o a simular .

Simulación

Esta es la desagradable parte. Basándose en su modelo, usted simula un número muy grande del factor o factores de descuento y de los precios de los activos y fija el precio de sus opciones de referencia como pagos medios descontados. Manteniendo la semilla aleatoria fija, por supuesto. A continuación, se calibran los parámetros del modelo tratando de minimizar alguna función de los errores de fijación de precios.

Disminuir la complejidad y ganar trazabilidad

Si usted podría trabajar con una versión ligeramente más sencilla, se podría utilizar la maquinaria estándar de valoración de derivadas de tipo europeo bajo procesos de difusión afines.

Se podría suponer que las correlaciones entre el tipo de interés libre de riesgo y los estocásticos de los activos/varianza son nulas, es decir $\mathrm{E}(dW_S(t)dW_r(t))=\mathrm{E}(dW_v(t)dW_r(t))=0dt$ y recuperar los modelos que ya ha citado en su pregunta. O podría reformular su modelo como:

$$ \begin{eqnarray*}dS\left(t\right)&=&r\left(t\right)S\left(t\right)dt+\color{red}{\sqrt{\nu\left(t\right)}}S\left(t\right)dW^{S}\left(t\right)\\ dr\left(t\right)&=&\beta\left(\alpha-r\left(t\right)\right)dt+\sigma\color{red}{\sqrt{\nu\left(t\right)}}dW^{r}\left(t\right)\\d\nu\left(t\right)&=&\kappa\left(\theta-\nu\left(t\right)\right)dt+\xi\sqrt{\nu\left(t\right)}dW^{\nu}\left(t\right)\end{eqnarray*} $$

En esta formulación, los tres procesos comparten la misma variable que impulsa su varianza, $\nu(t)$ . Por lo tanto, la estructura de covarianza del proceso, después de transformar $S_t\to ln(S_t)\equiv y_t$ ,

$$ \mathrm{E}(dXdX^T)=\mathrm{E}\begin{pmatrix}dy_tdy_t&dy_tdr_t&dy_td\nu_t\\ dy_tdr_t & dr_tdr_t & dr_tdy_t\\ dy_td\nu_t & dr_td\nu_t & d\nu_td\nu_t\end{pmatrix}=\nu_t\begin{pmatrix}1&\sigma\rho_{S,r}&\xi\rho_{S,\nu}\\ \sigma\rho_{S,r}&\sigma^2&\sigma\xi\rho_{r,\nu}\\\xi\rho_{S,\nu}&\sigma\xi\rho_{r,\nu}&\xi^2\end{pmatrix}dt $$

Esto es lineal en $X_t$ es decir, en $\begin{pmatrix}y_t\equiv \ln(S_t)&r_t&\nu_t\end{pmatrix}^T$ .

A partir de aquí, se podrían derivar, de forma bastante trazable, las ecuaciones de fijación de precios de los bonos de descuento y las ecuaciones características de la fórmula del precio de la opción, y enchufar todo en algún método de transformada de Fourier. Como resultado, se obtienen fórmulas trazables (casi) de forma cerrada de precios de bonos y opciones que pueden calibrarse con los precios observados.

¿HTH un poco?

NB: Queda una pregunta para el profesional: ¿Qué instrumento financiero de los que hay en el mercado aportará información que permita determinar la relación entre la innovación del tipo de interés a corto plazo y la innovación de las comillas bursátiles?