Valoración de opciones en función de la trayectoria

Question

Supongamos que tenemos un mercado libre de arbitraje y completo. La fórmula conocida para el precio libre de arbitraje de un derivado alcanzable $X$ en el momento $0 \leq t \leq T$ está dada por: \begin{align*} V(t)=e^{-r(T-t)}E_Q(X \vert {\cal F}_t) \end{align*} Donde $r$ es el tipo de interés sin riesgo y $E_Q$ es el valor esperado bajo la medida de riesgo neutral.

A mi entender, dada una derivada independiente de la trayectoria con un pago $\Psi(S(T))$ para alguna función $\Psi$ podemos calcular el precio libre de arbitraje evaluando $E_Q(\Psi(S(T))\vert {\cal F}_t)$ ¿verdad? Por ejemplo, para la convocatoria europea tenemos $\Psi(S(T))=\max(S(T)-K;0)$ , donde $S(T)$ es el precio de las acciones en el momento $T$ y $K$ es el precio de ejercicio.

Ahora me pregunto si esta fórmula también es válida para las opciones dependientes de la trayectoria. Por ejemplo, si quiero calcular el precio libre de arbitraje de una opción de compra asiática de strike fijo con pago $\max(A(S)-K;0)$ , donde $A(S)$ es una especie de media, ¿puedo calcular \begin{align*} V(t)=e^{-r(T-t)}E_Q(\max(A(S)-K;0)\vert {\cal F}_t) \end{align*} ?

Answer 1

Precios neutrales al riesgo

Una vez $T$ el pago es un integrable, $\mathcal{F}_T$ -variable aleatoria medible $\xi$ . El proceso de valor del pago descontado es entonces un $\mathbb{Q}$ -martingale, es decir, \begin{align*} V_t=\mathbb{E}^\mathbb{Q}_t\left[\frac{B_t}{B_T}\xi\right], \end{align*} donde $B_t$ es una cuenta bancaria sin riesgo local ( $\text{d}B_t=r_tB_t\text{d}t$ ).

• El resultado anterior se desprende esencialmente de la definición de $\mathbb{Q}$ y el hecho de que $M_t=\mathbb{E}_t[X]$ es una martingala si $X$ es integrable (debido a la ley de la torre).

• Si $r_t\equiv r$ es constante, tenemos $B_t=e^{rt}$ y $V_t=e^{-r(T-t)}\mathbb{E}^\mathbb{Q}_t\left[\xi\right]$ .

¿Funciona? Sí.

El único requisito es que $\xi$ es conocido (observable, medible) en la madurez $T$ . No es necesario que $\xi$ debe ser independiente de la trayectoria. Por lo tanto, $\xi$ puede ser efectivamente una media y la fijación de precios estándar de riesgo neutro se aplica a las opciones asiáticas (de estilo europeo), es decir, $\xi=\max\{A-K,0\}$ ¡está permitido! Es indiferente que se consideren aquí medias aritméticas o geométricas, o que se utilicen medias como precios de ejercicio. La fijación de precios neutrales al riesgo también se aplica a otras opciones exóticas dependientes de la trayectoria, como las opciones de barrera (de estilo europeo).

De hecho, los métodos numéricos de forma semicerrada para las opciones asiáticas se basan explícitamente en este marco de fijación de precios neutrales al riesgo.

También obtenemos algunos resultados sencillos: La identidad $\max\{x-K,0\}-\max\{K-x,0\}=x-K$ da una paridad put-call para las opciones asiáticas.

¿Dónde está el problema?

El único problema es que calcular el primer momento del pago de la opción es muy difícil. La mayoría de las veces, nos interesan las opciones aritméticas asiáticas, pero solemos modelar los precios de las acciones de forma exponencial. Esto hace que las soluciones de forma cerrada sean muy raras. Esencialmente, la distribución de la media $\int_t^T S_u\text{d}u$ no es realmente conocido por los modelos de precios de las acciones sensibles. Para las medias geométricas, la situación es un poco mejor.

Opciones americanas

La fórmula de fijación de precios neutral al riesgo no se aplica a las características de ejercicio anticipado (por ejemplo, las opciones de venta americanas). Sus precios están relacionados con el Sobre Snell que es un supermartingale, ver esta respuesta . Así, sus precios pueden descomponerse en una opción europea (una martingala) y un término de corrección por ejercicio anticipado (descomposición de Riesz o descomposición de Doob-Meyer). Las matemáticas para estas características de ejercicio temprano son más difíciles. Obviamente, la fijación de precios de las opciones asiáticas al estilo americano es una tarea realmente difícil (yo optaría por las simulaciones MC)...