Equilibrio en un juego estratégico con información completa

Question

Considere el siguiente juego estratégico con información completa. El conjunto de jugadores es $N = \{1, . . . , n\}$ , donde $n 2$ . Cada jugador $i N$ elige la acción $a$ $i \{0, 1\}$ . Pago de cada $i N$ del perfil de acción $ (a_i)_{iN}$ es $\sum_{ jN} a_jc_ia_i,$ donde $c_i > 0$ es un parámetro. Supongamos que $c_i$ no es un número entero para cada $i N$ . La interpretación del juego es la siguiente. Cada persona de una sociedad una sociedad, o bien realiza una acción que beneficia a todos los miembros de la sociedad, pero que es costosa para ella, o bien no la realiza. para ella, o no lo hace.

La solución que da es la siguiente: El pago de cada $i N$ del perfil de acción $ (a_i)_{iN}$ es igual a $\sum_{jN/\{i\}} a_j+(1-c_i)a_i,$ Por lo tanto, existe un único NE en el que $a_i = 0$ para cualquier jugador $i N$ con $1 c_i < 0$ y $a_i = 1$ para cualquier jugador $i N$ con $1 c_i > 0.$

Pero no estoy entendiendo de dónde viene este pago

Answer 1

Reescritura $i$ como \begin{align} u_i(a_i,a_{-i})&=\sum_{j\in N}a_j-c_ia_i\\ &=(a_1+\cdots+\color{red}{a_i}+\cdots+a_n)-c_ia_i\\ &=\underbrace{(a_1+\cdots+a_n)}_{\text{without $a_i$}}+\color{red}{a_i}-c_ia_i\\ &=\sum_{j\in N\setminus\{i\}}a_j+(1-c_i)a_i. \end{align} Así, $i$ La mejor respuesta de la empresa sólo depende de la magnitud relativa de $c_i$ .