Sólo me pregunto cómo integrar el movimiento browniano estándar en el intervalo de tiempo $(t, T)$ .
Dejemos que $Z$ sea un movimiento browniano estándar con media $0$ y la desviación estándar $1$ con $dZ^2 = dt$ . ¿Cómo derivar la expresión de la siguiente integral?
$$\int_{t}^{T}dZ$$
Personalmente, deduzco que la integral anterior es igual a $\sqrt{T-t} \, Z$ de otra ecuación, pero no sé cómo derivarla.
Una integral con respecto a un proceso estocástico es el tema del cálculo estocástico para el que deberías conseguir un libro de texto de introducción ya que es la clave de los modelos financieros.
Un movimiento browniano $(W_t)$ es el integrando más sencillo y suele ser el primer ejemplo que se encuentra. Entonces, $\int_t^T 1\mathrm{d}W_s=W_T-W_t=W_{T-t}=\sqrt{T-t} Z$ donde $Z\sim N(0,1)$ .
En su caso, la función $f(x)=1$ es una función simple. La integral de Ito de la función simple con respecto al movimiento browniano es simplemente una suma finita que en su caso colapsa a una suma telescópica. Así, la construcción de la integral de Ito da directamente el resultado anterior.
Dejemos que $(X_s)$ sea un proceso simple, es decir $X_s=\sum\limits_{i=0}^{n-1} C_{i}\mathbb{1}_{(s_{i},s_{i+1}]}(s)$ para $\mathcal{F}_{s_i}$ -variables aleatorias medibles $C_i$ y una partición $t=s_0<s_1<...<s_n=T$ . Entonces, por definición, $\int_t^T X_s \mathrm{d}W_s = \sum\limits_{i=0}^{n-1} C_i (W_{s_{i+1}}-W_{s_i})$ . En su caso, $C_i=1$ para todos $i$ . Así, $\int_t^T 1 \mathrm{d}W_s = \sum\limits_{i=0}^{n-1} 1 (W_{s_{i+1}}-W_{s_i}) = B_{s_n}-B_{s_0} = W_T-W_t$ .
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