Conversión de la Contribución al Riesgo de la Varianza al Stdev

Question

Así que tenemos la estructura básica:

$\sigma^2_{Pxy} = w_x^2 \sigma_x^2 + w_y^2 \sigma_y^2 + 2 w_x w_y \sigma_{xy}$

$\sigma^2_{Px} = w_x^2 \sigma_x^2 + w_x w_y \sigma_{xy}$

$\sigma^2_{Py} = w_y^2 \sigma_y^2 + w_x w_y \sigma_{xy}$

$\sigma^2_{Pxy} = \sigma^2_{Px} + \sigma^2_{Py}$

El problema es que esta estructura deja la medida del riesgo en términos de varianza, por lo que si queremos encontrar el porcentaje de contribución al riesgo, no se traduce fácilmente de la varianza a la desviación estándar.

Es decir, es fácil de resolver:

$ \cfrac{\sigma^2_{Px}}{\sigma^2_{Pxy}} =$ porcentaje de contribución al riesgo (varianza), como

$ \cfrac{\sigma^2_{Px}}{\sigma^2_{Pxy}} + \cfrac{\sigma^2_{Py}}{\sigma^2_{Pxy}} = 1$

Pero, no es fácil de resolver:

$ \cfrac{\sigma_{Px}}{\sigma_{Pxy}} =$ porcentaje de contribución al riesgo (desviación estándar), como

$ \cfrac{\sigma_{Px}}{\sigma_{Pxy}} + \cfrac{\sigma_{Py}}{\sigma_{Pxy}} \ne 1$

Además, no es correcto escalar simplemente a root cuadrada de los porcentajes.

Si $ x = \cfrac{\sigma_{Px}}{\sigma_{Pxy}}$ y $ y = \cfrac{\sigma_{Py}}{\sigma_{Pxy}}$ no está claro qué $ \cfrac{x}{x + y}$ igual.

¿Alguien tiene una solución para este problema?

Answer 1

$ \cfrac{\sigma_{Px}}{\sigma_{Pxy}} + \cfrac{\sigma_{Py}}{\sigma_{Pxy}} \ne 1$

porque

$ {\sigma_{Px}} + {\sigma_{Py}} \ne {\sigma_{Pxy}}$

como lo habíamos hecho

$\sigma^2_{Px} + \sigma^2_{Py} = \sigma^2_{Pxy}$

y esto es igual a

$\sqrt{(\sigma^2_{Px} + \sigma^2_{Py})}/\sigma^2_{Pxy} = 1$

Avísame si quieres ver un ejemplo de contribución al riesgo basado en las desviaciones estándar de los activos que lo componen.

ACTUALIZACIÓN:

Desde

$\sigma^2_{Pxy} = w_x^2 \sigma_x^2 + w_y^2 \sigma_y^2 + 2 w_x w_y \sigma_{x} \sigma_{y} \rho_{xy}$

la desviación estándar de la cartera es

$\sigma_{Pxy} = \sqrt{w_x^2 \sigma_x^2 + w_y^2 \sigma_y^2 + 2 w_x w_y \sigma_{x} \sigma_{y} \rho_{xy}}$

Ahora encuentre la contribución marginal al riesgo del activo $x$ tomando la derivada de la desviación estándar de la cartera con respecto a $w_x$ (el peso del activo $x$ ):

$\cfrac {d \sigma_{Pxy}} {d w_x} = \cfrac {d \sqrt{w_x^2 \sigma_x^2 + w_y^2 \sigma_y^2 + 2 w_x w_y \sigma_{x} \sigma_{y} \rho_{xy}}} {d w_x} = \cfrac {d (w_x^2 \sigma_x^2 + w_y^2 \sigma_y^2 + 2 w_x w_y \sigma_{x} \sigma_{y} \rho_{xy})^{1/2}} {d w_x} = \cfrac {1} {2 (w_x^2 \sigma_x^2 + w_y^2 \sigma_y^2 + 2 w_x w_y \sigma_{x} \sigma_{y} \rho_{xy})^{1/2}} (2 w_x \sigma_x^2 + 2 w_y \sigma_{x} \sigma_{y} \rho_{xy}) = \cfrac {w_x \sigma_x^2 + w_y \sigma_{x} \sigma_{y} \rho_{xy}} {\sigma_{Pxy}}$

Riesgo total aportado por el activo $x$ a la cartera es igual a

$\cfrac {w_x \sigma_x^2 + w_y \sigma_{x} \sigma_{y} \rho_{xy}} {\sigma_{Pxy}} w_x = \cfrac {w_x^2 \sigma_x^2 + w_x w_y \sigma_{x} \sigma_{y} \rho_{xy}} {\sigma_{Pxy}}$

Asimismo, el riesgo total aportado por el activo $y$ a la cartera es

$\cfrac {w_y \sigma_y^2 + w_x \sigma_{x} \sigma_{y} \rho_{xy}} {\sigma_{Pxy}} w_y = \cfrac {w_y^2 \sigma_y^2 + w_x w_y \sigma_{x} \sigma_{y} \rho_{xy}} {\sigma_{Pxy}}$

Ejemplo: $\sigma_{x} = 15%$ ; $\sigma_{y} = 20%$ ; $\rho_{xy} = 0.5$ ; $w_x = 60%$ ; $w_y = 40%$ ;

Así que tenemos: $\sigma_{Pxy} = 14.73%$ ;

Aportaciones de riesgo a la cartera: $\sigma_{Px} = 7.94%$ ; $\sigma_{Py} = 6.79%$ ;

¿Es esto lo que buscabas?