Dados dos valores de riesgo, calcule la tasa de rendimiento, la desviación estándar, la beta y la tasa libre de riesgo

Question

Considere un mundo en el que sólo hay dos acciones de riesgo, $A$ y $B$ cuyos datos figuran en el cuadro siguiente:

Además, la correlación entre los rendimientos de las acciones $A$ y $B$ es $\rho_{A B} = \frac{1}{3}$ . También hay un activo libre de riesgo y en este mundo el CAPM se satisface exactamente.

a.) ¿Cuál es la tasa de rendimiento esperada de la cartera de mercado?

b.) ¿Cuál es la desviación típica de la cartera de mercado?

c.) ¿Cuál es la beta de la acción A?

d.) ¿Cuál es la tasa libre de riesgo en este mundo?

Solución a a.): Tenemos

$$Cov(r_A, r_B) = \frac{1}{3}(.15)(.09) = .0045$$

Recordemos que

\begin{align*} \sigma^{2}_{P} &= \sigma^{2}_{A}W_A^{2} + \sigma^{2}_{B}W_B^{2} + 2\sigma_A \sigma_B cov(r_A,r_B)\\ &= \sigma^{2}_{A}W_A^{2} + \sigma^{2}_{B}(1 - W_A)^{2} + 2\sigma_A \sigma_B cov(r_A,r_B)\\ &= .0306 W_A^{2} - .0162 W_A + .0082215\\ \frac{\partial \sigma^{2}_{P}}{\partial W_A} &= 0 \implies \boxed{W_A = .2647} \end{align*}

Tenga en cuenta que

$$\frac{\partial^2 \sigma^{2}_{P}}{\partial W_A^2} = .0612 > 0$$

por lo que la varianza es mínima. Por lo tanto,

$$E[r_P] = W_A E[r_A] + W_B E[r_B] = .1279 \approx .13$$

Solución a b.): Tenemos

$$\sigma^2{P} = .006074$$

$$\boxed{\sigma_P =.0779}$$

Por alguna razón que no comprendo del todo, mi profesor en la tarea ha $9\%$ .

No estoy seguro de cómo conseguir la parte de la pregunta c.) o d.) porque parece que no hay suficiente información.

Answer 1

A.) La capitalización del mercado $m_{cap} = 100*\$ 1.50 + 150* \$2.0 = \$ 150 + \$300 = \$ 450 $, so the weight of each asset is $ 1/3 $ and $ 2/3 $ respectively in the market portfolio. You don't need to find the minimum variance portfolio. If you plug in these values you get exactly $ E[r_m] = 1/3*0,15 + 2/3*0,12 = 0,13.$

b.) La fórmula es incorrecta, ya que se multiplica la covarianza por las desviaciones estándar de los activos. La fórmula correcta es $$\sigma_P^2 = w_A^2\sigma_a^2 + w_B^2\sigma_b^2 + 2w_aw_b\sigma_a\sigma_b\rho_{ab} \\=1/3^2*0.15^2 + 2/3^2*0.09^2 + 2*1/3*2/3*0.0045 = 0.0080506$$ Tomando root cuadrada se obtiene una desviación estándar de $9\%$ .

c.) La Beta de un activo puede derivarse como $\beta_a = \frac{\sigma_a}{\sigma_{market}}\rho_{a,market}$ . Por lo tanto, hay que encontrar la correlación, o covarianza, entre el mercado y las acciones a.

d.) La tasa libre de riesgo del mercado puede considerarse como definida implícitamente en la fórmula del CAPM, $$E[R_a] = R_f + \beta_a(E[R_m] - R_f).$$ Cuando sabes $\beta_a$ , se obtiene $$R_f = \frac{1}{1-\beta_a}(E[R_a]-\beta_aE[R_m])$$