Rendimientos constantes en una función de producción $\frac{Y}{L}=\left(\frac{K}{L}\right)^{\alpha}\left(\frac{R}{L}\right)^{\beta}$ ( $R$ = Recurso)

Question

En su Artículo de 1977 (a partir de la cual se ha desarrollado una considerable literatura sobre la Regla de Hartwick para mantener el consumo constante a largo plazo dado el agotamiento de los recursos naturales no renovables), Hartwick utiliza (en la página 973) esta función de producción agregada:

$$x = k^{\alpha}y^{\beta}1^{\gamma}$$

Aquí (ver p 972) $x$ es la producción per cápita, $k$ es el capital reproducible per cápita, y $y$ es el uso per cápita de un recurso agotable. $1$ es sólo el número uno, el trabajo se supone constante (por lo que el término $1^{\gamma}$ parece redudante). Así que en una notación más familiar (salida $Y$ , capital $K$ uso de un recurso agotable $R$ , trabajo $L$ ), y glosando la diferencia entre población y trabajo, esto es:

$$\frac{Y}{L}=\left(\frac{K}{L}\right)^{\alpha}\left(\frac{R}{L}\right)^{\beta}$$

Hartwick asume entonces (p 972) rendimientos constantes a escala en la forma (explícitamente en la p 973) $\alpha+\beta=1$ .

Pregunta : ¿Qué razones podrían justificar la suposición de rendimientos constantes en la forma anterior? ¿No es más plausible suponer rendimientos constantes cuando todo factores se incrementan, es decir, asumir $\alpha+\beta+\gamma=1$ en una función de producción de la forma

$$Y=K^{\alpha}R^{\beta}L^{\gamma}$$ Esto implica la función anterior ya que:

$$\frac{Y}{L} = \frac{K^{\alpha}R^{\beta}L^{\gamma}}{L^{\alpha}L^{\beta}L^{\gamma}}=\left(\frac{K}{L}\right)^{\alpha}\left(\frac{R}{L}\right)^{\beta}$$

Sin embargo, teniendo en cuenta $\gamma>0$ es incoherente con $\alpha+\beta=1$ : en su lugar $\alpha+\beta<1$ .

Answer 1

El objetivo del documento en cuestión es examinar/mostrar la "regla de inversión" que conduce a la "equidad intergeneracional", que con una población constante se traduce en un consumo constante.

La norma de inversión que se examina es (última línea de la p. 973) "invertir todo el neto devuelve de recursos agotables en capital reproducible" (y consumir el resto).

Anteriormente, la ec. $(1)$ del documento (la ley de la acumulación de capital) nos dice que bruto los rendimientos de los recursos agotables son iguales $f_yy$ esto implica que suponemos que el rendimiento por unidad de recurso agotable es igual a su producto marginal .

Pero esto implica a su vez la fijación de precios y la existencia de mercados. Por lo tanto, también debe haber un mercado para el capital. Si el mercado de capitales también se caracteriza por la fijación de precios marginales, entonces, si suponemos que la función de producción tiene rendimientos decrecientes a escala en el capital y el recurso agotable ( $\alpha + \beta <1$ ), entonces

$$f_kk + f_yy < x$$

y alguna parte de la producción habría quedado sin contabilizar.

Así que el autor asume rendimientos constantes a escala en estos dos para poder asumir también mercados competitivos y precios marginales, y una producción per cápita agotada en las recompensas a estos insumos.

Esto, por supuesto, lleva a la pregunta: ¿qué ocurre con el mercado laboral? Bueno, podemos salirnos con la nuestra haciendo la siguiente suposición: No hay elección de ocio-trabajo, el trabajo se ofrece inelásticamente, y además, no hay mercado de trabajo , se subsume a los demás factores de producción, es decir, se ofrece junto a ellos y no se paga por separado: pensemos en los propietarios de capital que también trabajan en su negocio sin pagarse un salario.

Esto significa, por supuesto, que la formulación con trabajo unitario y un exponente irrelevante $\gamma$ es descuidado y problemático, debería estar ausente (no afectaría al papel), y llevó con razón a la pregunta del OP.