Maximización de la Utilidad Intertemporal

Question

Supongamos que la vida de un agente económico se divide en dos períodos, el primero constituye su juventud y el segundo su vejez. Existe un único bien de consumo, C, disponible en ambos períodos. La función de utilidad del agente viene dada por

$$U(C_{1},C_{2}) = \frac{C_{1}^{1-\theta }-1}{1-\theta }+\frac{1}{1+\rho}\frac{C_{2}^{1-\theta }-1}{1-\theta }$$

con $0< < 1, > 0$, y donde el primer término representa la utilidad del consumo durante la juventud. El segundo término representa la utilidad descontada del consumo en la vejez, $1/(1+ )$ siendo el factor de descuento.

Durante el período, el agente tiene una unidad de trabajo que proporciona inelásticamente a una tasa de salario $w$ . Cualquier ahorro (es decir, ingresos menos consumo durante el primer período) genera una tasa de interés $r$, cuyos beneficios están disponibles en la vejez en unidades del único bien de consumo disponible en la economía. Denotemos los ahorros por $s$. El agente maximiza la utilidad sujeta a su restricción presupuestaria.

$i)$ Muestra que $$ representa la elasticidad de la utilidad marginal con respecto al consumo en cada período.

$ii)$ Escribe el problema de optimización del agente, es decir, su problema de maximizar la utilidad sujeta a la restricción presupuestaria.

$iii)$ Encuentra una expresión para s como función de $w$ y $r$.

$(iv)$ ¿Cómo cambia s en respuesta a un cambio en $r$? En particular, muestra que este cambio depende de si $$ excede o es menor que la unidad.

$(v)$ Da una explicación intuitiva de tu hallazgo en $(iv)$

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No logro resolver este problema. He demostrado la primera parte $i$.

$$C_{2}= (w-C_{1})(1+r)$$

Entonces, $ii)$ Problema de optimización =

$$\frac{C_{1}^{1-\theta }-1}{1-\theta }+\frac{1}{1+\rho}\frac{C_{2}^{1-\theta }-1}{1-\theta }+\lambda (w-C_{1}-(w-C_{1})(1+r))$$

$iii) s=w-C_{1}$ ¿Cómo expresamos esto en términos de $w$ y $r$?

Se agradece cualquier ayuda con este problema.

Answer 1

Lo que tienes es básicamente el Problema de Optimización de dos períodos de Fisher. (Fisher)

Para iii) Primero necesitas encontrar la ecuación de Euler, la cual te dice cómo equilibrar de manera óptima el consumo del primer período y del segundo período.

Para empezar, tu problema de optimización está configurado incorrectamente: $$\frac{C_{1}^{1-\theta }-1}{1-\theta }+\frac{1}{1+\rho}\frac{C_{2}^{1-\theta }-1}{1-\theta }+\lambda (w-C_{1}-\frac{C_{2}}{1+r})$$

Encuentras la ecuación de Euler derivando y igualando las condiciones de primer orden de ambos términos de consumo.

$$\frac{1}{1+r} C_{1}^{-\theta }= \frac{1}{1+\rho}C_{2}^{-\theta }$$

Luego solo resuelve para $C_{1}$, sustituye $C_{2}=s(1+r)$, y sustituye en $s=w-C_{1}$, lo que da:

$$s=w-(1+r)^{\frac{\theta-1}{\theta}}(1+\rho)^{\frac{1}{\theta}}s \\ s=\frac{w}{1+(1+r)^{\frac{\theta-1}{\theta}}(1+\rho)^{\frac{1}{\theta}}}$$

La derivada, que da la respuesta a un cambio en $r$, es: $$\frac{\partial s}{\partial r}= -\frac{(\theta -1) w ( 1+\rho)^{1/\theta } (1+r)^{1/\theta }}{\theta \left((\rho +1)^{1/\theta }+r (\rho +1)^{1/\theta }+(r+1)^{1/\theta }\right)^2}$$

La derivada para $0<\theta<1$ es positiva, lo cual indica que un rendimiento más alto en el ahorro resultará en un aumento en la cantidad ahorrada. La preferencia por el consumo del primer período sigue siendo lo suficientemente baja para que el consumidor esté dispuesto a ahorrar más para consumirlo más tarde. Aquí el efecto de sustitución domina el efecto de ingreso.

Cuando $\theta>1$, la derivada es negativa, lo que significa que la preferencia por el consumo del primer período es tan alta que el consumidor está dispuesto a reducir los ahorros para el consumo del período actual. Aquí el efecto de ingreso domina el efecto de sustitución.