Recientemente he visto dos vídeos sobre el Criterio de Kelly para la optimización de carteras, sin embargo un parecen no deducirlo correctamente (como la gente comentó) y el otro simplemente no muestran ninguna deducción. Justo después, encontré esto artículo .
Como podemos ver, el problema sin restricciones se propone en la ecuación 10 y sus soluciones se encuentran justo debajo, en la ecuación 12. Pero me interesa resolver el problema restringido, ecuación 13. Por lo tanto, he intentado esto:
- En primer lugar, establecemos la única restricción: $\vec{W} \vec{I}$ , de tal manera que $\vec{W}$ es el vector de pesos y el último satisface $\vec{I} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \end{bmatrix}^{T}$ ;
- No hay ventas en corto aquí, por lo tanto $0 \leq w_i \leq 1$ ;
- Fijamos el lagrangiano $\mathcal{L}$ de la siguiente manera:
\begin{equation}\tag{1} \mathcal{L}(\vec{W}, \lambda_1) = r + \vec{W}^{T} (\mathbb{E}[\vec{R}-r \vec{I}]) - \vec{W}^{T} \Sigma \vec{W} + \lambda_1(1-\vec{W}^{T} \vec{I}) \end{equation}
donde $r$ es la rentabilidad del activo sin riesgo, $\vec{R}$ es el vector aleatorio de retornos de los activos de riesgo, $\Sigma$ es la matriz de covarianza.
- Ahora, como siempre, maximizamos calculando el gradiente de $\mathcal{L}$ y poniéndolo a cero. Así, llegamos a
\begin{equation}\tag{2} \begin{bmatrix} 2 \Sigma & \vec{I} \\ \vec{I}^{T} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \vec{W} \\ \lambda_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbb{E}[\vec{R}]- r \vec{I} \\ 1 \end{bmatrix} \end{equation}
- Entonces podemos resolverlo utilizando la factorización QR y la sustitución hacia atrás:
\begin{equation}\tag{3} QR \vec{x} = \vec{b} \\ R \vec{x} = Q^{T} \vec{b} \end{equation}
Por lo tanto, algunas cosas todavía no están claras para mí:
- Hay un desajuste entre el valor esperado de los rendimientos de la cartera ( $R_p$ ). En el primer vídeo, podemos ver (min 3) que, equivalentemente,
\begin{equation}\tag{4} \textrm{Kelly Criterion: } \mathbb{E}[R_p] = \mathbb{E}[\log(1+\vec{W} \vec{R})] \end{equation}
Sin embargo, en el artículo, hacen todos los cálculos y deducciones utilizando $\mathbb{E}[R_p] = \mathbb{E}[\vec{W} \vec{R}] $ como utiliza el modelo de Markowitz. ¿Alguna opinión al respecto? Además, en el artículo, los autores dijeron que el modelo sólo funciona para los precios normalmente distribuidos.
Mi apuesta es que usamos $\mathbb{E}[R_p] = \mathbb{E}[\vec{W} \vec{R}] $ para precios con distribución normal y $\mathbb{E}[R_p] = \mathbb{E}[\log(1+\vec{W} \vec{R})]$ para precios con distribución lognormal, ya que $\ln(\textrm{LogNormal}) = \mathcal{N}$ .
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He visto que hay una parábola asociada al Criterio de Kelly. Una vez resuelto (3), ¿cómo se consigue esa bonita parábola que todo el mundo traza? No veo cómo, ya que obtenemos múltiples pesos. Sinceramente, a mí me parece que se va a parecer mucho más al modelo de Markowitz.
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En el modelo de Markowitz, podemos parametrizar el vector $\vec{b}$ en términos de los valores esperados que queremos, es decir $\mu_0$ para obtener la frontera eficiente. ¿Hay algo parecido en el Criterio de Kelly para la optimización de carteras? Si parametrizamos $\vec{b}$ en (3), obtenemos una curva de pesos posibles de la cartera. Entonces, ¿cuál es la diferencia entre Kelly y Markowitz? ¿Sólo cómo se define la expectativa?
Intenté encontrar más información en internet, pero me costó mucho, pocas fuentes que explicaran la matemática que hay detrás del modelo y que pudieran aclarar estas cuestiones. Además, ¡cualquier recomendación de libros es bienvenida!
PRINCIPAL: ¿Esta deducción es correcta? ¡¡Cualquier cosa que se corrija o se añada será apreciada!!
Gracias
