Cómo calcular la opción de retorno con la medida a plazo

Question

Estoy tratando de calcular el precio de una opción en el momento $t$ , con el pago $X = \frac{S_{T_2}}{S_{T_1}}$ en el momento $T_2$ , donde $t < T_1 < T_2$ .

Así es como lo calculo:

Utilizando la medida de avance $Q_{T_2}$ con fecha de liquidación $T_2$ Precio en $t$ es $$P_{t,T_2}E_{Q_{T_2}}\left(\frac{S_{T_2}}{S_{T_1}}| \mathcal{F}_t\right),$$ donde $P_{t,T_2}$ es el precio de un bono al descuento a $t$ maduración en $T_2$ .

Por la ley de la expectativa iterada, y utilizando el hecho de que el proceso de precios $h_t/P_{t,T2}$ es una martingala para cualquier reclamo contingente con pago $H$ en $T_2$ me sale, $$P_t = P_{t,T_2}E_{Q_{T_2}}\left(\frac{1}{S_{T_1}} \frac{S_{T_1}}{P_{T_1,T2}}| \mathcal{F}_t\right) = P_{t,T_2} E_{Q_{T_2}}\left(\frac{1}{P_{T_1,T2}}| \mathcal{F}_t\right) =P_{t,T_2} \frac{1}{P_{t,T2}} =1$$

Me parece que este resultado es bastante sorprendente (¿tal vez porque es erróneo?). Si alguien tiene otra respuesta o puede aportar una justificación intuitiva de dicho resultado. Estaría encantado de tener alguna idea.

Answer 1

Hay un problema en su último paso. Tenga en cuenta que $$\begin{align*} P_{t, T_2}E_{Q_{T_2}}\left(\frac{1}{P_{T_1, T_2}} \mid \mathcal{F}_t \right) &= P_{t, T_2}E_{Q_{T_2}}\left(\frac{P_{T_1, T_1}}{P_{T_1, T_2}} \mid \mathcal{F}_t \right)\\ &=P_{t, T_2} \times \frac{P_{t, T_1}}{P_{t, T_2}}\\ &=P_{t, T_1}. \end{align*}$$