Una pregunta sobre la inmunización y la duración de Macaulay

Question

Estoy estudiando para la Sociedad de Actuarios - Examen FM y me encontré con el siguiente problema:

Dejemos que $x$ sea el importe nominal del bono a 5 años y que $y$ sea el importe nominal del bono a 10 años.

Como el tipo de cupón del bono a 5 años es el mismo que el tipo de rendimiento, el bono se compra a su valor nominal.

La primera condición de la inmunización requiere que:

PV(Activo) = PV(Pasivo) o

$x + \frac{y}{(1.03)^{20}} = \frac{5000}{(1.03)^{20}} = 3115.83.$

La segunda condición de la inmunización exige que

MacD(Activo) = MacD(Pasivo).

La duración de un bono con cupones semestrales a 5 años que se vende a su valor nominal es $a_{10}\cdot(1.03) = 8.7862$ medios años, es decir, 4,3931 años. ( $a_{10}$ es una anualidad inmediata de 10 años).

La duración del bono de cupón cero a 10 años es simplemente de 10 años. La duración del pasivo es de 8 años.

Aquí es donde estoy confundido. ¿Es la duración lineal, en el sentido de que la duración "total" de los activos es la suma de la duración de los activos individuales?

¿Tendríamos MacD(Activos) = MacD(x) + MacD(y)?

Para cumplir la segunda condición, parece que tenemos 10 + 4,3931 = 8, lo que no sé qué sentido tiene.

Answer 1

La duración no es lineal. Es la media ponderada de la duración de los subyacentes, siendo las ponderaciones sus valores. Para obtener un sistema lineal hay que multiplicar las duraciones por los pvs asociados y hacer coincidir esa cantidad en su lugar.

Answer 2

La respuesta correcta es D.1111

Tenemos un pasivo de 5000 $\$$ debido a los 8 años. El tipo de descuento es del 6%. Tenemos dos bonos diferentes: Bono1: 5 años hasta el vencimiento con pagos semestrales, 6% anual.
Bono2: 10 años hasta el vencimiento, bono de cupón cero Ambos bonos tienen un valor nominal igual a 100 y su precio de mercado es $B1_t , B2_t= 100, \forall t \ to \hspace{0.2cm} maturity$ .

La duración de Macaulay del pasivo es igual a 8. Por lo tanto, $D_{liability}=8$ . El cero tiene $D_2 =10$ por definición. La duración del bono a 5 años es:

$D_1(semiannualy)= \frac{\sum_{i=1}^{10} \frac{3i}{1.03^i}+\frac{10 *100}{1,03^{10}}}{100}=8,786$

Convertimos la duración anterior en anualmente $D_1=\frac{D_1(semiannualy)}{2}=4,393$

Construimos una cartera cuyos activos son el bono1 y el bono2 con pesos $w_1,w_2$ .

La duración de la cartera debe ser igual a la duración del pasivo Tenemos que resolver lo siguiente $2*2$ sistema de ecuaciones lineales:

$w_1 *D_1+ w_2*D_2=D_{liability} \implies w_1*4,393+w_2*10=8$ $w_1+w_2=1$ .

Las soluciones son: $w_1=0,3566 , w_2=0,6434$ .

Suponiendo que esa tasa se mantenga constante a lo largo del tiempo. Deberíamos invertir $x$ importe del bono a 5 años:

$x=\frac{5000}{1,03^{16}}*0,3566 =1111,11 \approx 1111 \$$