Utilidad lineal homotética

Question

Una utilidad homotética es cuando $$ \forall x,y, \forall a \in \mathbb{R}_+: \ u(ax,ay)=au(x,y) $$ (o su transformación monótona).

Una utilidad lineal homotética se define como $$ \forall x,y, \forall a \in \mathbb{R}_+: \ u(ax+b,ay+c)=au(x+b,y+c) $$ donde $b,c$ son constantes.

Esta preferencia tiene una propiedad muy similar a la preferencia homotética. De hecho, si simplemente trasladamos el sistema de coordenadas en la dirección de (b,c), entonces la preferencia se vuelve homotética.

¿Hay obras que cubran esta propiedad? He revisado muchos trabajos de teoría en preferencia homotética pero no he encontrado suerte.

Preferencias homotéticas de James DOW- y Sergio Ribeiro da Costa WERLANG

Preferencias homotéticas y débilmente homotéticas por J.C. Candeal, E. Indurain

Preferencias lineales-homotéticas, por B Datta, H Dixon

Answer 1

La única función de utilidad que se me ocurre es la función de utilidad Stone-Geary. Para 2 bienes, $x$ y $y$ Esto toma la forma: $$ u(x,y) = (x - a)^\alpha (y- b)^{1- \alpha}. $$ Se trata de una función de utilidad de tipo Cobb-Douglas en la que $a$ y $b$ son niveles de subsistencia, es decir, se necesita consumir al menos $a$ de $x$ y $b$ de $y$ para sobrevivir. Es la función de utilidad que lleva al sistema de gasto lineal.

Para ver que es homotética lineal fíjate que: $$ \begin{align*} u(\beta \tilde x + a, \beta \tilde y + b) &= (\beta \tilde x + a - a)^\alpha (\beta \tilde y + b - b)^{1-\alpha},\\ &=\beta (\tilde x)^\alpha (\tilde y)^{1-\alpha},\\ &=\beta ((\tilde x + a) - a)^\alpha ((\tilde y + b) - b)^{1-\alpha},\\ &= \beta u(\tilde x + a, \tilde y + b). \end{align*} $$ Puede ser que haya más trabajos sobre funciones de utilidad con niveles de subsistencia que lleven a otras preferencias que también sean linealmente homotéticas.

Por ejemplo, se podría definir una función de utilidad CES con niveles de subsistencia: $$ u(x,y) = (\alpha_x(x -a)^\sigma + \alpha_y(y-b)^\sigma)^{1/\sigma} $$ Esto también satisfará la homogeneidad lineal. Este documento de Baumgärtner, Drupp & Quaas hace algo así.

En general, si se toma cualquier función de utilidad homotética $u(x,y)$ entonces la función modificada de "subsistencia aumentada": $$ \tilde u(x, y) \equiv u(x - a, y - b), $$ será linealmente homotética.