Utilidad esperada y $\log$

Question

Acabo de empezar a leer sobre la utilidad esperada y las funciones de utilidad y tengo la siguiente pregunta.

$\textbf{Question:}$ Un inversor tiene una riqueza inicial de 100 y una función de utilidad de la forma \begin{align} U(w) = \log(w) \end{align} ¿Cuál es su utilidad esperada?

\begin{align} \end{align}

En una de las diapositivas que encontré en la web dice lo siguiente:

$\textbf{Calculating Expected Utility}$
1. Cuando la variable de elección $x$ es constante, entonces $E(U(x)) = U(x)$ .
2. Cuando la variable de elección $x$ es una variable aleatoria, entonces $E(U(x))$ se rige por la PDF de $x$ .
3. Si $x$ tiene $k$ resultados, cada uno con probabilidad $p_k$ entonces \begin{align} E(U(x)) = \sum_{1}^{k} p_i U(x_i) \end{align}

Como me dicen que la riqueza inicial es de 100, ¿significa esto simplemente que la utilidad esperada es $E(U(100)) = \log(100)$ ?

Pido disculpas si esto es trivial, estoy empezando.

Se agradece toda la ayuda.
John

Answer 1

Estoy asumiendo la probabilidad de ganar una cantidad $x$ es $p$ . Entonces la probabilidad de perder una cantidad $y$ es $1-p$ .

$E[U(W)]=pU(100+x)+(1-p)U(100-y)$

$=p\log{(100+x)}+(1-p)\log{(100-y)}$

$=p\log{(\frac{100+x}{100-y})}-\log{(100-y)}$

Debería parecerse a algo así. Sólo te he dado una visión general, porque creo que faltan muchos detalles en tu pregunta, no importa porque eres nuevo en esto como has dicho.

Para iniciar un problema como este, se necesita una tabla

$$ \begin{array}{c|lcr} probabilty & \text{Gain} & \text{$W_0+x$} & \text{$U(W_0+x)$} \\ \hline p & x & 100+x & \log({100+x}) \\ 1-p & -y & 100-y & \log({100-y}) \\ \end{array} $$

Su tabla podría contener más probabilidades dependiendo de la pregunta, pero la suma de las probabilidades debe ser igual a $1$ .

Answer 2

Esta es una pregunta extraña. Normalmente, las preguntas sobre la utilidad esperada implican cierta incertidumbre sobre la riqueza futura del inversor. Si no hay incertidumbre en el resultado y el inversor no está haciendo cualquier cosa que pueda cambiar su riqueza futura, entonces la expectativa de utilidad es una constante, es decir $E[U(w)] = U(w)$ .