Ecuación integral-diferencial para los tipos a plazo

Question

Tengo problemas con esta pregunta:

Dejemos que $P(t,T)$ denotan el precio de un bono de cupón cero (con vencimiento en el tiempo $T$ ) en el momento $t \in [0,T]$ .

Como siempre, a la hora $t$ para la madurez $T$ el tipo de interés a plazo se define por

$$f(t,T)= - \frac{\partial}{\partial T} \log P(t,T)$$ .

Considere un proceso de tipo de interés corto $(r_t)$ satisfaciendo la siguiente dinámica: \begin{equation} dr_t = a(r_t) \,dt + b(r_t) \, dW_t \end{equation} para dos funciones suaves $a$ y $b$ .

Que la función $G: [0,T] \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ satisfacen la siguiente ecuación integral-diferencial: \begin{equation} \frac{\partial G}{\partial t} (t,r) = a(r) \frac{\partial G}{\partial r} (t,r) + \frac{ b(r)^2}{2} \frac{{\partial}^2 G}{\partial r^2} (t,r) - b(r)^2 \frac{\partial G}{\partial r} (t,r) \int_0^t \frac{\partial G}{\partial r} (s,r) \,ds, \end{equation} con la condición inicial $G(0,r)=r$ .

Queremos demostrar que no hay arbitraje si la función de tipos de interés a plazo está definida por $f(t,T) = G(T-t, r_t)$ .

El principal problema que encuentro es el hecho de que $ \frac{1}{G(t,r)} b(r)^2 \frac{\partial G}{\partial r} (t,r) \int_0^t \frac{\partial G}{\partial r} (s,r)\,ds $ no es una función de $r$ sólo. Por lo tanto, no sé cómo aplicar Feynman-Kac en esta situación.

¿Alguna sugerencia sobre cómo transformar esto en Feynman-Kac?

Answer 1

Integrar la ecuación integral-diferencial de 0 a $T-t$ obtenemos que \begin{align*} G(T-t, r) - r &= a(r) \int_0^{T-t}\frac{\partial G}{\partial r} (s,r)ds + \frac{ b(r)^2}{2}\int_0^{T-t} \frac{{\partial}^2 G}{\partial r^2} (s,r)ds\\ &\qquad - b(r)^2 \int_0^{T-t}\frac{\partial G}{\partial r} (u,r) \int_0^u\frac{\partial G}{\partial r} (s,r) \,ds du\\ &=a(r) \int_0^{T-t}\frac{\partial G}{\partial r} (s,r)ds + \frac{ b(r)^2}{2}\int_0^{T-t} \frac{{\partial}^2 G}{\partial r^2} (s,r)ds\\ &\qquad - \frac{ b(r)^2}{2}\left(\int_0^{T-t}\frac{\partial G}{\partial r} (s,r) \,ds\right)^2.\tag{1} \end{align*}

Dejemos que $$\widehat{P}(t,T) = e^{-\int_0^{T-t} G(s, r_t)ds}.$$ Entonces \begin{align*} \frac{\partial \widehat{P}}{\partial t} &= \widehat{P}\, G(T-t, r_t),\\ \frac{\partial \widehat{P}}{\partial r} &=-\widehat{P}\int_0^{T-t}\frac{\partial G(s, r)}{\partial r}ds,\\ \frac{\partial^2 \widehat{P}}{\partial r^2}&=\widehat{P}\left(\int_0^{T-t}\frac{\partial G(s, r)}{\partial r}ds \right)^2 - \widehat{P}\int_0^{T-t}\frac{\partial^2 G(s, r)}{\partial r^2}ds. \end{align*} Además, desde $(1)$ , \begin{align*} &\ \frac{b(r)^2}{2}\frac{\partial^2\widehat{P}}{\partial r^2}+a(r)\frac{\partial \widehat{P}}{\partial r}+\frac{\partial \widehat{P}}{\partial t}-r\widehat{P}\\ =&\ \widehat{P}\Bigg[\frac{b(r)^2}{2}\left(\int_0^{T-t}\frac{\partial G(s, r)}{\partial r}ds \right)^2 - \frac{b(r)^2}{2}\int_0^{T-t}\frac{\partial^2 G(s, r)}{\partial r^2}ds \\ &\qquad - a(r)\int_0^{T-t}\frac{\partial G(s, r)}{\partial r}ds + G(T-t, r_t) -r\Bigg]. \end{align*} Eso es, $$\frac{b(r)^2}{2}\frac{\partial^2\widehat{P}}{\partial r^2}+a(r)\frac{\partial \widehat{P}}{\partial r}+\frac{\partial \widehat{P}}{\partial t}-r\widehat{P}=0. $$ Ahora, se puede aplicar la fórmula de Feynman-Kac para obtener que \begin{align*} \widehat{P}(t, T) = E\left(e^{-\int_t^T r_s ds} \mid \mathcal{F}_t \right). \end{align*} Por lo tanto, $\widehat{P}(t, T) = P(t, T)$ es el precio del bono de cupón cero. En consecuencia, \begin{align*} f(t, T) &= - \frac{\partial}{\partial T} \ln \widehat{P}(t,T)\\ &=G(T-t, r_t). \end{align*}