Aclaración sobre la definición de equilibrio correlativo de Bayes

Question

Me gustaría que me ayudaran a entender la definición de Equilibrio correlacionado de Bayes (BCE) en un juego de información incompleta en la p.7 de este papel.

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Permítanme resumir la definición que se ofrece en el documento.

Hay $N\in \mathbb{N}$ jugadores, con $i$ que denota un jugador genérico.

Existe un conjunto finito de estados $\Theta$ con $\theta$ que denota un estado genérico.

Un juego básico $G$ consiste en

• para cada jugador $i$ un conjunto finito de acciones $A_i$ donde escribimos $A\equiv A_1\times A_2\times ... \times A_N$ y una función de utilidad $u_i: A\times \Theta \rightarrow \mathbb{R}$ .

• un apoyo completo antes $\psi\in \Delta(\Theta)$ .

Una estructura de información $S$ consiste en

• para cada jugador $i$ un conjunto finito de señales $T_i$ donde escribimos $T\equiv T_1\times T_2\times ... \times T_N$ .

• una distribución de la señal $\pi: \Theta \rightarrow \Delta(T)$ .

Una regla de decisión del juego de información incompleta $(G,S)$ es un mapeo $$\sigma: T\times \Theta\rightarrow \Delta(A)$$

Definición de BCE: La regla de decisión $\sigma$ es un BCE para el juego $(G,S)$ si, para cada $i=1,...,N$ , $t_i\in T_i$ y $a_i\in A_i$ tenemos $$\sum_{a_{-i}, t_{-i}, \theta} \psi(\theta) \pi(t_{-i}|t_i, \theta) \sigma(a_{-i}| a_i,t_i, t_{-i}, \theta) u_i(a_i, a_{-i},\theta)$$ $$\geq \sum_{a_{-i}, t_{-i}, \theta} \psi(\theta) \pi(t_{-i}|t_i, \theta) \sigma(a_{-i}| a_i,t_i, t_{-i}, \theta) u_i(\tilde{a}_i, a_{-i},\theta)$$ $\forall \tilde{a}_i\in A_i$ .

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Pregunta:

1) No entiendo cómo se calcula la expectativa condicional en la definición. Considere, por ejemplo, el lado izquierdo (LHS) y permítame ir a través de cada paso utilizando la notación $Pr(\cdot)$ para denotar genéricamente cualquier distribución de probabilidad.

El LHS es la recompensa esperada del jugador $i$ donde la expectativa se calcula wrto todo lo que no conoce condicionado a lo que conoce. Por lo tanto, $$\sum_{a_{-i}, \theta, t_{-i}} u_i(a_{-i},a_i, \theta) \times Pr(a_{-i}, \theta, t_{-i}| t_i, a_i)=$$ $$\sum_{a_{-i}, \theta, t_{-i}} u_i(a_{-i},a_i, \theta) \times Pr(a_{-i}| \theta, t_{-i}, t_i, a_i)\times Pr(\theta, t_{-i}| t_i, a_i)=$$ $$\sum_{a_{-i}, \theta, t_{-i}} u_i(a_{-i},a_i, \theta) \times \underbrace{Pr(a_{-i}| \theta, t_{-i}, t_i, a_i)}_{\equiv \sigma(a_{-i}| a_i,t_i, t_{-i}, \theta) \text{ [OK!]}}\times \underbrace{Pr(t_{-i}|\theta, t_i, a_i)}_{\equiv \pi(t_{-i}|t_i, \theta)? \text{ Where is $ a_i $?} }\times \underbrace{Pr(\theta| t_i, a_i)}_{\equiv \psi(\theta)?\text{ Where are $ t_i, a_i $?}}=$$

¿Estamos asumiendo

1) $t_{-i}\perp a_i$ condicionado a $\theta, t_i$

2) $\theta \perp t_i, a_i$

?

2) ¿Cómo se simplifica la definición de BCE cuando $N=1$ ?

De la lectura de la página 25 del documento vinculado, parece que un BCE sigue siendo un mapa de estado y señal a una distribución de probabilidad sobre las acciones . De la lectura en la p.26 del documento enlazado, los autores dicen entonces "[...] En ese caso, el conjunto de BCE corresponde a la distribución conjunta de acciones y los estados [...] ". Estoy confundido.

Además, cuando $N=1$ ¿En qué se diferencia la definición de BCE de la definición de Equilibrio Bayesiano de Nash?

3) Sólo como curiosidad, ¿cuál es la razón de incluir el adjetivo " correlacionado "?

Answer 1

Creo que la razón por la que tienes dificultades es que tu definición no es en realidad equivalente a la de Bergemann y Morris sobre la ECM, excepto bajo supuestos específicos que incluyen los que afirmas sobre la independencia. Sin embargo, en general, no queremos hacer estas suposiciones. (Por ejemplo, suponiendo que $t_{-i}$ es independiente de $a_i$ con la condición de $\theta$ y $t_i$ significa que el mediador no puede revelar ninguna información adicional sobre los tipos de otros jugadores una vez que han revelado el estado a un jugador. Esto parece innecesariamente restrictivo).

En el documento, un BCE induce una distribución de probabilidad $\Pr$ que satisface

$$\sum_{a_{-i},t_{-i},\theta}\Pr(a_i,a_{-i},t_i,t_{-i},\theta) u_i(a_i,a_{-i},\theta) \ge \sum_{a_{-i},t_{-i},\theta} \Pr(a_i,a_{-i},t_i,t_{-i},\theta) u_i(a^\prime_i,a_{-i},\theta)$$

para todos $a_i^\prime \in A_i$ . Si queremos expresar esta desigualdad en términos de jugador $i$ La utilidad esperada de la persona dada su información, entonces dividimos ambos lados por $\Pr(a_i,t_i)$ . Del mismo modo, a partir de la desigualdad

$$\sum_{a_{-i},t_{-i},\theta}\Pr(a_{-i},t_{-i},\theta \vert a_i,t_i) u_i(a_i,a_{-i},\theta) \ge \sum_{a_{-i},t_{-i},\theta} \Pr(a_{-i},t_{-i},\theta \vert a_i, t_i) u_i(a^\prime_i,a_{-i},\theta),$$

podemos multiplicar ambos lados por $\Pr(a_i,t_i)$ para recuperar la primera expresión anterior. Para ver cómo cuadra esto con tu cálculo, observa que

$$\begin{align*} \Pr(a_{-i}\vert a_i,t_i,t_{-i},\theta) \Pr(t_{-i}\vert a_i,t_i,\theta)\Pr(\theta\vert a_i,t_i) \Pr(a_i,t_i) &= \Pr(a_{-i},t_{-i},\theta \vert a_i, t_i) \Pr(a_i,t_i) \\ &= \Pr(a_i,a_{-i},t_i,t_{-i},\theta) \\ &= \Pr(a_i,a_{-i}\vert t_i,t_{-i},\theta) \Pr(t_i,t_{-i} \vert \theta) \Pr(\theta)\\ &= \sigma(a_i,a_{-i}\vert t_i,t_{-i},\theta) \pi(t_i,t_{-i} \vert \theta) \psi(\theta). \end{align*}$$

En particular, tenemos que $$\Pr(a_{-i}\vert a_i,t_i,t_{-i},\theta) \Pr(t_{-i}\vert a_i,t_i,\theta)\Pr(\theta\vert a_i,t_i) = \frac{\sigma(a_i,a_{-i}\vert t_i,t_{-i},\theta) \pi(t_i,t_{-i} \vert \theta) \psi(\theta)}{\Pr(a_i,t_i)}.$$ Esto hace que sea difícil obtener la descomposición que se desea sin hacer suposiciones de independencia innecesariamente fuertes.

Cuando $N=1$ En este caso, sólo hay un jugador, por lo que el equilibrio es (en cierto sentido) degenerado. Sin embargo, la diferencia entre el BCE de un jugador y el BNE de un jugador es que el conjunto del BCE es mayor e incluye cualquier BNE. (De hecho, esto es cierto incluso cuando $N>1$ .)

Para su segunda pregunta:

un BCE sigue siendo un mapeo de estado y señal a una distribución de probabilidad sobre las acciones . De la lectura en la p.26 del documento enlazado, los autores dicen entonces "[...] En ese caso, el conjunto de BCE corresponde a la distribución conjunta de acciones y los estados [...] ". Estoy confundido.

Formalmente, un BCE es una distribución de probabilidad de las acciones para cada realización del estado y las señales. Esta distribución de probabilidad induce una distribución conjunta sobre las acciones y los estados. Sólo hay que integrar $(t_i,t_{-i})$ en $\Pr(a_i,a_{-i},t_i,t_{-i},\theta)$ para obtener esa distribución conjunta.

Por último, este concepto de equilibrio se denomina Equilibrio Correlacionado de Bayes porque extiende nuestra definición de equilibrio correlacionado (definida por Aumann para juegos de información completa) a los juegos de información incompleta, de la misma manera que el equilibrio de Bayes-Nash extiende el equilibrio de Nash.