¿Qué propiedades debe tener una función de utilidad para que podamos definir conjuntos de niveles y, por tanto, curvas de indiferencia?

Question

He preguntado en Math SE un poco sobre los conjuntos de niveles aquí .

Según lo que he aprendido, parece que solemos asumir un conjunto de niveles $L(f)$ y su función $f$ definido en $\Bbb{R}^n$ tienen las siguientes propiedades:

1. $f$ es continua
2. Así, las curvas del conjunto de niveles son curvas cerradas. (no se sabe por qué)
3. Todas las curvas cerradas son "convergentes" a un punto. (no se sabe por qué)
4. Este punto será un máximo de la función: la derivada en el punto será cero, ya que si no lo fuera entonces el punto sería un manifold de 1, lo cual es absurdo.
5. $\nabla f \neq 0$ sobre el resto de los puntos

No entiendo cómo sabemos que una relación de preferencia sobre un paquete de consumo tiene una representación de la función de utilidad tal que estas propiedades se mantienen. Según mi profesor, utilizamos conjuntos de niveles para describir las curvas de indiferencia.

Por lo tanto, si las curvas de indiferencia se describen mediante un conjunto de niveles, ese conjunto de niveles debe tener las propiedades enumeradas anteriormente. Obsérvese que, para la economía, estamos considerando una función $U(\mathbf{x})$ , donde $\mathbf{x}=(x_1,...,x_n)$ y el conjunto de niveles $L(U)$ . Además, tenga en cuenta $U: \Bbb{R}^n\rightarrow \Bbb{R}$ .

Mi pregunta:

En términos económicos, qué supuesto tenemos que hacer para asegurar, $U$ , $L(U)$ tienen estas propiedades para crear un conjunto de niveles utilizado para las curvas de indiferencia?

Lo ideal sería tener una lista enumerada de los supuestos (es decir, 1,2,3).

Answer 1

Los conjuntos de niveles siempre están bien definidos. No hay que asumir ninguna propiedad de las funciones de utilidad. Para cualquier nivel de utilidad $\bar u$ sólo hay que definir el conjunto de niveles para que sea $\{x\in \mathbb{R}^n|U(x)=\bar u\}$ . Ninguna propiedad de $U$ debe ser asumido. Esto está bien definido independientemente de las propiedades de $U$ . Propiedades de $U$ son útiles si se quiere derivar propiedades específicas de los conjuntos de niveles, pero no son necesarios para definirlos.

Answer 2

Como dice TMB, los conjuntos de niveles de puntos en los que se alcanza la misma utilidad ( $\{x\in \mathbb{R}^n|U(x)=\bar u\}$ ). Esto no depende de casi nada, excepto que el conjunto tenga una relación de igualdad - no es mucho pedir en realidad.

1 y 2. Las curvas se definen como $f^{-1} (\bar u)$ y $\{\bar u\}$ es cerrado, por lo que el antecedente por una función continua de $\{\bar u\}$ también está cerrado.

3,4 y 5 me parece una chorrada, ¿tal vez puedas darnos la referencia de tu curso o de un curso que se refiera al mismo supuesto? ¿Cómo se define un máximo en $\Bbb{R}^n$ ?

Answer 3

Mira toma una preferencia racional $\succeq$ definidos en X, dotar a X de alguna métrica (por lo tanto a suponer que es un espacio métrico). Supongamos también que X es separable (por ejemplo $\mathbb{R}^n$ satisface estas condiciones pero es más general). Ahora dejamos que $\succeq$ ser (i) racional (completa, transitiva), (ii) continua (significa que si $x^n\rightarrow x$ , $y^n\rightarrow y$ y $x^n \succeq y^n$ $\forall n$ entonces $x \succeq y$ . Bajo estos supuestos, entonces se puede representar por una función de utilidad continua. 1. u es continua por las condiciones anteriores. 2. Las curvas del conjunto de niveles son cerradas. Se deduce del hecho de que la relación de indiferencia es un conjunto cerrado y de la representación de la utilidad continua: tomar $x^n \sim y\quad \forall n$ por la continuidad de las preferencias $x \sim y$ Ahora bien, esto implica que $u(x^n)$ es una secuencia en la curva de nivel $u(x^n)=u(y)$ para una y fija y por lo anterior $u(x)\rightarrow u(y)$ lo que lo hace cerrado. Las otras propiedades son más profundas en el sentido de que se necesitan más supuestos, por ejemplo para que el gradiente de u sea diferenciable, la unicidad del extremo necesita algún tipo de convexidad de las curvas de nivel, etc.